Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足a²-8a+16+

b+4

=0，点C、B关于x轴对称．
（1）求A、C两点坐标．
（2）点M为射线OA上A点右侧一动点，过点M作MN⊥CM交直线AB于N，连接BM，是否存在点M，使S_△AMN=

3

2

S_△AMB？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如图2，点P为第二象限角平分线上一动点，将射线BP绕点B逆时针旋转30°交x轴于Q，连接PQ，在点P运动过程中，当∠BPQ=45°时，求BQ的长．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）由a，b满足a²-8a+16+

b+4

=0，可求得a与b的值，即可求得A、B两点坐标，又由点C，B关于x轴对称，即可求得C的坐标；
（2）首先连接AC，易得AB=AC，MB=MC，可得∠MBA=∠MCA，继而证得MN=MB=MC，然后过点N作NE⊥x轴于E，可证得△OCM≌△EMN，再设AM=x，NE=4+x，由S_△AMN=

3

2

S_△AMB，即可求得答案；
（3）首先过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，PH⊥PQ交y轴于H，易证得△PQN≌△PHM，继而可证得△QPB≌△HPB，则可求得∠OBP=∠PBQ=30°，继而可得∠BQO=30°，继而求得答案．

解答：解：（1）∵a、b满足a²-8a+16+

b+4

=0，
即a，b满足（a-4）²+

b+4

=0，
∴a-4=0，b+4=0，
解得：a=4，b=-4，
∴A（4，0），B（0，-4），
∵C，B关于x轴对称，
∴C（0，4）；

（2）连接AC，
∵点C，B关于x轴对称，
∴OM垂直平分BC，
∴AB=AC，MB=MC，
∴∠ACB=∠ABC，∠MCB=∠MBC，
∴∠MBA=∠MCA，
∵∠CAN=90゜=∠CMN，
∴∠MCA=∠ANM=∠MBA，
∴MN=MB=MC，
过点N作NE⊥x轴于E，
∵∠OMC+∠EMN=90°，∠OCM+∠OMC=90°，
∴∠OCM=∠EMN，
在△OCM和△EMN中，

∠OCM=∠EMN ∠COM=∠MEN=90° CM=MN

，
∴△OCM≌△EMN（AAS），
∴NE=OM，
设AM=x，NE=4+x，
∵S_△AMN：S_△AMB=3：2，
∴

x+4

4

=

3

2

，
解得：x=2，
∴OM=NE=6，
∴M（6，0）．

（3）过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，PH⊥PQ交y轴于H，
∵∠QPN+∠NPH=90°，∠MPH+∠NPH=90°，
∴∠QPN=∠MPH，
又∵PO平分∠MOQ，
∴PM=PN，
在△PQN和△PHM中，

∠QPN=∠HPM PN=PM ∠PNQ=∠PMH

，
∴△PQN≌△PHM（ASA），
∴PQ=PH，
又∵∠BPQ=45°，∠QPH=90°，
∴∠BPH=45°，
在△QPB和△HPB中，

QP=HP ∠BPQ=∠BPH PB=PB

，
∴△QPB≌△HPB（SAS），
∴∠PBO=∠PBQ=30°，
∴∠OBQ=∠PBO+∠PBQ=60°，
∴∠OQB=90°-∠OBQ=30°，
∴在Rt△QOB中，OB=

1

2

QB，
又∵OB=4，
∴BQ=8．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及非负性．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合与方程思想的应用．