Question

△ABC中，A、B两点坐标分别是（0，0）和（36，15），点C的横、纵坐标均为整数，则△ABC的面积的最小值是（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、

  3

  2

• D、不存在最小值

Answer 1

考点：面积及等积变换,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：过点C作CH⊥y轴于H，过点B作BG⊥y轴于G，过点C作CD∥AB，交y轴于点D，设点C的坐标为（x，y），其中x、y均为整数，根据等积变换可得S_△CAB=S_△DAB=18AD．易证△DHC∽△AGB，利用相似三角形的性质可得到DH=

5

12

x，进而可得到S_△CAB=

3(12y-5x)

2

，由x、y是整数及S_△CAB＞0可得到12y-5x是正整数，则有12y-5x≥1，从而可求出△ABC的面积的最小值．

解答：解：过点C作CH⊥y轴于H，过点B作BG⊥y轴于G，过点C作CD∥AB，交y轴于点D，
设点C的坐标为（x，y），其中x、y均为整数，如图，
则有CH=x，AH=OH=y，S_△CAB=S_△DAB=

1

2

AD•BG=

1

2

×AD×36=18AD，
∠CDH=∠BAG，∠DHC=∠AGB=90°，
∴△DHC∽△AGB，
∴

DH

AG

=

CH

BG

．
∵AG=15，BG=36，CH=x，
∴DH=

15

36

x=

5

12

x，
∴AD=AH-DH=y-

5

12

x，
∴S_△CAB=18（y-

5

12

x）
=18y-

15

2

x=

36y-15x

2

=

3(12y-5x)

2

．
∵x、y是整数，
∴12y-5x也是整数．
∵S_△CAB＞0，
∴12y-5x是正整数，
∴12y-5x≥1，
∴S_△CAB≥

3

2

．
当y=3，x=7时，S_△CAB取到最小值，最小值为

3

2

．
故选：C．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等积变换等知识，有一定的难度．而运用等积变换将△CAB的面积转化为△DAB的面积则是解决本题的关键．