【题目】(1)操作与探究:如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,折痕的一端G点在边BC上,BG=10.
①第一次折叠:当折痕的另一端点F在AB边上时,如图1,求折痕GF的长;
②第二次折叠:当折痕的另一端点F在AD边上时,如图2,证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.
(2)拓展延伸:通过操作探究发现在矩形纸片ABCD中,AB=5,AD=13.如图3所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ.当点A′在BC边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动.若限定点P,Q分别在AB,AD边上移动,则点A′在BC边上可移动的最大距离是 .
【答案】(1)①GF=5;②4
;(2)4.
【解析】
(1)①首先利用翻折变换的性质以及勾股定理求出AE的长,进而利用勾股定理求出AF和EF的长,根据勾股定理即可得出结论;
②首先证明四边形BGEF是平行四边形,再利用BG=EG,得出四边形BGEF是菱形,再利用菱形性质求出FG的长;
(2)分别利用当点P与点B重合时,以及当点D与点Q重合时,求出A′B的极值进而得出答案.
(1)①解:如图①过G作GH⊥AD,
在Rt△GHE中,GE=BG=10,GH=8,
所以,EH==6,AE=10-6=4,
设AF=x,则EF=BF=8-x,
则AF2+AE2=EF2,
∴x2+42=(8-x)2,
解得:x=3,
∴AF=3,BF=EF=5,
在Rt△BFG中,根据勾股定理得FG=.
②证明:如图②,过F作FK⊥BG于K,
∵ABCD是矩形,
∴AD∥BC,BH∥EG,
∴四边形BGEF是平行四边形;
由对称性知,BG=EG,
∴四边形BGEF是菱形.
BG=BF=10,AB=8,AF=6,
∴KG=4,FG=;
(2)如图1,当点P与点B重合时,根据翻折对称性可得BA′=AB=5,
如图2,当点D与点Q重合时,根据翻折对称性可得
A′D=AD=13,
在Rt△A′CD中,A′D2=A′C2+CD2,
即132=(13-A′B)2+52,
解得:A′B=1,
所以点A'在BC上可移动的最大距离为5-1=4.
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【题目】如图,在边长为的菱形
中,对角线
,点
是直线
上的动点,
于
,
于
.
如图,在边长为的菱形
中,对角线
,点
是直线
上的动点,
于
,
于
.
对角线
的长是________,菱形
的面积是________;
如图
,当点
在对角线
上运动时,
的值是否发生变化?请说明理由;
如图
,当点
在对角线
的延长线上时,
的值是否发生变化?若不变请说明理由,若变化,请直接写出
、
之间的数量关系,不用明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,点D是BC边的中点,DE⊥BC,∠ABC的角平分线BF交DE于点P,交AC于点M,连接PC.
(Ⅰ)若∠A=60°,∠ACP=24°,求∠ABP的度数;
(Ⅱ)若AB=BC,BM2+CM2=m2(m>0),△PCM的周长为m+2时,求△BCM的面积(用含m的代数式表示).
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【题目】某服装厂里有许多剩余的三角形边角料,找出一块△ABC,测得∠C=90°(如图),现要从这块三角形上剪出一个半圆O,做成玩具,要求:使半圆O与三角形的两边AB、AC相切,切点分别为D、C,且与BC交于点E.
(1)在图中设计出符合要求的方案示意图.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)Rt△ABC中,AC=3,AB=5,连接AO,求出AO的长度.
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【题目】如图,已知直线AB:y=x+
分别交x轴、y轴于点B、A两点,C(3,0),D、E分别为线段AO和线段AC上一动点,BE交y轴于点H,且AD=CE.当BD+BE的值最小时,则H点的坐标为( )
A. (0,4) B. (0,5) C. (0,) D. (0,
)
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【题目】如图,长方形纸片ABCD(长方形的对边平行且相等,每个角都为直角),将纸片沿EF折叠,使点C与点A重合,下列结论:①AF=AE,②△ABE≌△AGF,③AF=CE,④∠AEF=60°,正确的有_____.(填写序号)
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【题目】某服装厂里有许多剩余的三角形边角料,找出一块△ABC,测得∠C=90°(如图),现要从这块三角形上剪出一个半圆O,做成玩具,要求:使半圆O与三角形的两边AB、AC相切,切点分别为D、C,且与BC交于点E.
(1)在图中设计出符合要求的方案示意图.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)Rt△ABC中,AC=3,AB=5,连接AO,求出AO的长度.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=BC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,BH⊥AB于点B,点M是BC的中点,连接FM并延长交BH于点H.
(1)如图①所示,若∠ABC=30°,求证:DF+BH=BD;
(2)如图②所示,若∠ABC=45°,如图③所示,若∠ABC=60°(点M与点D重合),猜想线段DF、BH与BD之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不需证明.
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【题目】观察下表:
序号 | 1 | 2 | 3 | … |
图形 | x x | |||
y | ||||
x x | x x x | |||
y y | ||||
x x x | ||||
y y | ||||
x x x | x x x x | |||
y y y | ||||
x x x x | ||||
y y y | ||||
x x x x | ||||
y y y | ||||
x x x x | … |
我们把某格中字母的和所得到的多项式称为特征多项式,例如第1格的“特征多项式”为4x+y.回答下列问题:
(1)第2格的“特征多项式”为____,第n格的“特征多项式”为____;(n为正整数)
(2)若第1格的“特征多项式”的值为-8,第2格的“特征多项式”的值为-11.
①求x,y的值;
②在此条件下,第n格的“特征多项式”是否有最小值?若有,求最小值和相应的n值;若没有,请说明理由.
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