Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．

（1）如图①所示，若∠ABC=30°，求证：DF+BH=BD；
（2）如图②所示，若∠ABC=45°，如图③所示，若∠ABC=60°（点M与点D重合），猜想线段DF、BH与BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DF+BH=BD；理由见解析

【解析】

（1）连接CF，由垂心的性质得出CF⊥AB，证出CF∥BH，由平行线的性质得出∠CBH=∠BCF，证明△BMH≌△CMF得出BH=CF，由线段垂直平分线的性质得出AF=CF，得出BH=AF，AD=DF+AF=DF+BH，由直角三角形的性质得出AD=BD，即可得出结论；
（2）同（1）可证：AD=DF+AF=DF+BH，再由等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．

（1）证明：连接CF，如图①所示：

∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴CF⊥AB，
∵BH⊥AB，
∴CF∥BH，
∴∠CBH=∠BCF，
∵点M是BC的中点，
∴BM=MC，
在△BMH和△CMF中，

，
∴△BMH≌△CMF（ASA），
∴BH=CF，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF=CF，
∴BH=AF，
∴AD=DF+AF=DF+BH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=30°，
∴AD=BD，
∴DF+BH=BD；
（2）解：图②猜想结论：DF+BH=BD；理由如下：
同（1）可证：AD=DF+AF=DF+BH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，
∴AD=BD，
∴DF+BH=BD；
图③猜想结论：DF+BH=BD；理由如下：
同（1）可证：AD=DF+AF=DF+BH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=60°，
∴AD=BD，
∴DF+BH=BD．