Question

【题目】如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于点P，交AC于点M，连接PC．

（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；

（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周长为m+2时，求△BCM的面积（用含m的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）32°；（Ⅱ）m+1．

【解析】

（Ⅰ）根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC＝∠PCB，根据角平分线的定义，可得∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠ABP的度数；

（Ⅱ）根据直角三角形的性质得到BM⊥AC，求得∠BMC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，求得BM+CM＝m+2，推出BMCM＝2m+2，于是得到结论．

解：（Ⅰ）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，

∴PB＝PC，

∴∠PBC＝∠PCB，

∵BP平分∠ABC，

∴∠PBC＝∠ABP，

∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，

∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，

∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣24°，

∴3∠ABP＝120°﹣24°，

∴∠ABP＝32°；

（Ⅱ）∵AB＝BC，BP平分∠ABC，

∴BM⊥AC，

∴∠BMC＝90°，

∵PD⊥BC，点D是BC边的中点，

∴PD垂直平分BC，

∴PB＝PC，

∵△PCM的周长为m+2，

∴PM+PC+CM＝PM+PB+CM＝BM+CM＝m+2，

∴（BM+CM）2＝BM2+CM2+2BMCM＝m2+2BMCM＝（m+2）2，

∴BMCM＝2m+2，

∴△BCM的面积＝BMCM＝m+1．