已知:如图所示.直线MA∥NB.∠MAB与∠NBA的平分线交于点C.过点C作一条直线l与两条直线MA.NB分别相交于点D.E．(1)如图1所示.当直线l与直线MA垂直时.补全图形并猜想线段AD.BE.AB之间的数量关系(直接写出结论.不用证明),(2)如图2所示.当直线l与直线MA不垂直且交点D.E都在AB的同侧时.补全图形并探究(1)中的结论是否成立?如� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

16．已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA，NB分别相交于点D，E．

（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，补全图形并猜想线段AD，BE，AB之间的数量关系（直接写出结论，不用证明）；
（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D，E都在AB的同侧时，补全图形并探究（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）当直线l与直线MA不垂直且交点D，E在AB的异侧时，补全图形并探究（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD，BE，AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．

分析（1）如图1中，结论：AD+BE=AB．作CH⊥AB于H，只要证明△ACD≌△ACH，△BCH≌△BCE即可．
（2）如图2中，（1）中所得结论是否仍然成立．在线段AB上截取AF=AD，连接FC，只要证明△ADC≌△AFC（SAS），△CBF≌△CBE（AAS）即可解决问题．
（3）不成立．如图3中，结论：AD-BE=AB．延长BC交AM于F，只要证明△ABF是等腰三角形，△CDF≌△CEB，即可解决问题．如图4中，结论：BE-AD=AB，证明方法类似．

解答解：（1）结论：AD+BE=AB．补全图形（如图1）

理由：∵CD⊥AM，CH⊥AB，
∴∠ADC=∠CHA=90°，
在△ACD和△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠ADC=∠AHC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ACH（AAS），
∴AD=AH，
同理可证△BCH≌△BCE，
∴BH=BE，
∴AD+BE=AH+BH=AB．

（2）（1）中所得结论是否仍然成立．
证明：如图2中，在线段AB上截取AF=AD，连接FC．

∵AC，BC分别平分∠MAB，∠NBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
在△ADC和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=AF\\∠1=∠2\\ AC=AC（公共边）\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AFC（SAS）．
∴∠ADC=∠AFC，
∵MA∥NB，
∴∠ADC+∠6=180°，
又∵∠5+∠AFC=180°，
∴∠5=∠6．
在△CBF和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠5=∠6\\∠3=∠4\\ BC=BC（公共边）\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△CBE（AAS），
∴BF=BE
∵AF+BF=AB，
∴AD+BE=AB．

（3）不成立．
如图3中，结论：AD-BE=AB．

理由：延长BC交AM于F．
∵AD∥BN，
∴∠4=∠AFB=∠3，∠FDC=∠CEB，
∴AF=AB，
∵∠1=∠2，
∴AC⊥BF，CF=BC，
在△CDF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠CEB}\\{∠FCD=∠ECB}\\{CF=BC}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CEB，
∴DF=BE，
∴AD-BE=AD=AF=AF=AB，
∴AD=BE=AB．
如图4中，结论：BE-AD=AB．（证明方法类似图3情形）．

点评本题考查三角形综合题、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

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