Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．

（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；

（2）求证：．

Answer 1

 （1）BH=AC，理由如下：

∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，

∵∠ABC=45°，

∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC

∴DB=DC，

∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，

∴∠HBD=∠ACD，

∵在△DBH和△DCA中

，∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC．

（2）连接CG，

由（1）知，DB=CD，∵F为BC的中点，

∴DF垂直平分BC，∴BG=CG，

∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴EC=EA，

在Rt△CGE中，由勾股定理得：，

∵CE=AE，BG=CG，∴．