Question

【题目】在综合实践课上，老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．

已知，在等腰三角形纸片ABC中，CA=CB=5，∠ACB=120°，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图所示放置，顶点P在线段BA上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．

（1）特例感知

当∠BPC＝110°时，α＝　 　°，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变　 　（填“大”或“小”）．

（2）合作交流

当AP等于多少时，△APD≌△BCP，请说明理由．

（3）思维拓展

在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）40°，小；（2）当AP＝5时，△APD≌△BCP，理由详见解析；（3）当α＝45°或90°时，△PCD是等腰三角形．

【解析】

(1)先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再一次运用三角形内角和定理即可求出 的度数；根据三角形内角和定理即可判断点P从B向A运动时，∠ADP的变化情况；

(2)先根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角和得到∠APC＝∠B+α＝30°+∠PCB，再证明∠APD＝∠BCP，根据全等三角形的判定定理，即可得到当AP＝5时，△APD≌△BCP．

(3)根据等腰三角形的判定，分三种情况讨论即可得到；

解：（1）∵CA=CB=5，∠ACB=120°，

∴∠B=∠A= =30°，

∴ ，

∵三角尺的直角边PM始终经过点C，

∴再移动的过程中，∠APN不断变大，∠A的度数没有变化，

∴根据三角形的内角和定理，得到∠ADP逐渐变小；

故答案为：40°，小．

（2）当AP＝5时，△APD≌△BCP．

理由如下：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，

∴∠A＝∠B＝30°．

又∵∠APC是△BPC的一个外角，

∴∠APC＝∠B+α＝30°+∠PCB，

∵∠APC＝∠DPC+∠APD＝30°+∠APD，

∴∠APD＝∠BCP，

当AP＝BC＝5时，

在△APD和△BCP中，

∴△APD≌△BCP（ASA）；

（3）△PCD的形状可以是等腰三角形．

根据题意得：∠PCD＝120°﹣α，∠CPD＝30°，

有以下三种情况：

①当PC＝PD时，△PCD是等腰三角形，

∴∠PCD＝∠PDC＝＝75°，即120°﹣α＝75°，

∴α＝45°；

②当DP＝DC时，△PCD是等腰三角形，

∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°，

∴α＝90°；

③当CP＝CD时，△PCD是等腰三角形，

∴∠CDP＝∠CPD＝30°，

∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，

即120°﹣α＝120°，

∴α＝0°，

此时点P与点B重合，不符合题意，舍去．

综上所述，当α＝45°或90°时，△PCD是等腰三角形．