Question

【题目】在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE，如图1．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）在（1）中，若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、R，如图2．

①当CD＝6，CE＝4时，求BE的长．

②探究BH与AF的数量关系，并给予证明．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①4﹣2；②AF＝BH，详见解析

【解析】

(1)由“ASA”可得△BOE≌△DOF，可得DF＝BE，可得结论；

(2)①由等腰三角形的性质可得EN＝CN＝2，由勾股定理可求DN，由等腰三角形的性质可求BN的长，即可求解；

②如图，过点H作HM⊥BC于点M，由“AAS”可证△HMC≌△CND，可得HM＝CN，由等腰直角三角形的性质可得BH＝HM，即可得结论．

(1)证明：∵平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，

∴AD∥BC，BO＝DO，

∴∠ADB＝∠CBD，且∠DOF＝∠BOE，BO＝DO，

∴△BOE≌△DOF（ASA）

∴DF＝BE，且DF∥BE，

∴四边形BEDF是平行四边形；

(2)①如图2，过点D作DN⊥EC于点N，

∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，

∴EN＝CN＝2，

∴DN＝＝＝4，

∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，

∴∠DBC＝∠BDN＝45°，

∴DN＝BN＝4，

∴BE＝BN﹣EN＝4﹣2；

故答案为：BE＝4﹣2.

②AF＝BH，

理由如下：如图，过点H作HM⊥BC于点M，

∵DN⊥EC，CG⊥DE，

∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，

∴∠EDN＝∠ECG，

∵DE＝DC，DN⊥EC，

∴∠EDN＝∠CDN，EC＝2CN，

∴∠ECG＝∠CDN，

∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，

∴∠CDB＝∠DHC，

∴CD＝CH，且∠HMC＝∠DNC＝90°，∠ECG＝∠CDN，

∴△HMC≌△CND（AAS）

∴HM＝CN，

∵HM⊥BC，∠DBC＝45°，

∴∠BHM＝∠DBC＝45°，

∴BM＝HM，

∴BH＝HM，

∵AD＝BC，DF＝BE，

∴AF＝EC＝2CN，

∴AF＝2HM＝BH．

故答案为：AF＝BH.