Question

【题目】综合与实践

问题情境：

如图1，已知点是正方形的两条对角线的交点，以点为直角顶点的直角三角形的两边，分别过点，，且，，．

（1）的长度为________；

操作证明：

（2）如图2，在（1）的条件下，将按如图放置，若，分别与，相交于点，．请判断和有怎样的数量关系，并证明结论；

探究发现：

（3）如图3，在（1）的条件下，将按如图放置，若点恰好在上，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明详见解析；（3）详见解析

【解析】

（1）由题意可得OC=OB，OC⊥OB，再根据勾股定理即可得到答案；

（2）连接，，证明，即可得出答案；

（3）根据题意可推出为等边三角形，可得，，再根据，可得，从而可推出，，即可得证．

解：（1）∵点是正方形的两条对角线的交点，以点为直角顶点的直角三角形的两边，分别过点，C，

∴OC=OB，OC⊥OB，

∵BC=2，

∴OC2=BC2-OB2，

2OC2=BC2，

2OC2=4，

即OC=；

（2）；

证明：如图，连接，，

∵点是正方形的两条对角线的交点，

∴，，

∵，

∴，

在和中，

∴，

∴；

（3）连接，，

∵，，

∴，

∵在中，，

∴，

∴为等边三角形，

∴，，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．