Question

【题目】说明：在解答“结论应用”时，从（A），（B）两题中仸选一题做答．

问题探究

启知学习小组在课外学习时，发现了这样一个问题：如图（1），在四边形ABCD中，连接AC，BD，如果△ABC与△BCD的面积相等，那么AD∥BC．在小组交流时，他们在图（1）中添加了如图所示的辅助线，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．请你完成他们的证明过程．

结论应用

在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过A（1,4），B（a，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D．

（A）（1）求反比例函数的表达式；

（2）如图（2），已知b＝1，AC，BD相交于点E，求证：CD∥AB．

（B）（1）求反比例函数的表达式；

（2）如图（3），若点B在第三象限，判断并证明CD与AB的位置关系．

我选择：

Answer 1

【答案】问题探究：证明见解析证明；结论应用：若选（A）（1）；（2）见解析证明；若选（B）（1）；（2）CD∥AB，见解析证明．

【解析】

试题分析：问题探究：根据，可得AE=DF，根据AE⊥BC，DF⊥BC，得AE∥DF，所以可判定四边形AEFD是平行四边形，即可得出结论；

结论应用：若选（A）（1）把A点的坐标代入解析式即可求出m的值即可；（2）连接AD、BC，将b=1代入函数表达式得a=4，由C、D、E三点的坐标可知CE=DE=1，AE=BE=3，进而可得，即可得出结论；

若选（B）（1）把A点的坐标代入解析式中即可求出m的值即可；（2）连接AD、BC，延长BD，AC相交于点M，由题意得M点坐标为（1，b）,BM=1-a,AM=4-b,且，通过计算可得出，即可得出结论．

试题解析：问题探究：∵，，∵，∴AE=DF，又∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AD∥BC；

结论应用：若选（A）（1）把A点的坐标代入解析式中得：4=，m=4，∴反比例函数的表达式为：；

（2）连接AD、BC，将b=1代入函数表达式得：a=4，又∵AC⊥x，BD⊥y，∴AC⊥BD，C（1，0），D（0，1），E（1，1），∴CE=DE=1，AE=BE=3，又∵，∴且AC=BD=4，BE=AE=3，∴，∴CD∥AB；

若选（B）（1）把A点的坐标代入解析式中得：4=，m=4，∴反比例函数的表达式为：；

（2）CD∥AB，证明如下：连接AD、BC，延长BD，AC相交于点M，由题意得M点坐标为（1，b）,BM=1-a,AM=4-b,且，∴=×4（1-a）=2(1-a)，=(-a)(4-b)=(-a)(4-)=2(1-a)，∴，∴CD∥AB．