Question

如图，在直角坐标系中，一个Rt△ABC的斜边AB在两坐标轴上滑动，AB=2，∠ABC=30°，下面说法正确的个数是（　　）个．
①当B点与O点重合时，C点的坐标是（

3

2

，

3

2

）；
②滑动过程中，OC的最大值是2；
③滑动过程中，四边形OACB的面积的最大值是1+

3

2

；
④滑动过程中，AB的中点所走的路径是一条线段．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：根据解直角三角形的运用、四点共圆的性质、三角形的内角和定理、三角形的面积公式以及二次函数的性质逐项分析即可．

解答：解：由解直角三角形知①正确；
取AB的中点D，（如图1）连OD、CD，则CO≤OC+OD（当O、D、C三点共线时取等号），此时OC=AB=2，知②正确；
（另外也可以这样考虑，如图2，∠AOB=∠ACB=90°，则∠AOB+∠ACB=180°，O、A、C、B四点共圆，OC为⊙D的弦，OC≤AB=2，当OC为⊙D的直径时，OC最大是2，也得结论②正确；
由于△ABC的面积是

1

2

×1×

3

=

3

2

（定值），当△AOB面积最大时，四边形的面积最大，当△AOB是等腰直角三角形时，面积最大是1，所以滑动过程中，四边形OACB的面积的最大值是1+

3

2

；故结论③正确；
（另一种是二次函数，设OA=x，则OB=

4-x2

，S△AOB=

1

2

x

4-x2

=

1

2

x2(4-x2)

=

1

2

-(x2-2)2+4

≤1（等号仅当x=

2

时取得），所四边形OACB最大面积是1+

3

2

，故③正确）
取AB的中点D，如图4，由于OD的长度始终是AB的一半，为1，且D为动点，O为定点，动点D到定点O的距离等于定长1的点轨迹是一个圆（弧），故④错，（如图5红色是AB的中点的轨迹，说明：除中点D和端点A、B外，其它点的轨迹是椭圆，那是高中的知识，设P（x，y）是AB上的一点，∠DAC=θ，且AP=a，则

x=(2-a)cosθ y=asinθ

，解得：

x2

(2-a)2

+

y2

a2

=1（0＜a＜2，0＜x＜2，0＜y＜2），仅当a=1时即AB的中点轨迹是圆的一部分．）

点评：本题考查了解直角三角形的运用、四点共圆的性质、三角形的内角和定理、三角形的面积公式以及二次函数的性质题目综合性很强，对学生的解题能力要求很高，是一道不错的中考题目．