Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点B(2，0)、A(m，0)(0＜m＜)，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆的交点，连接BE与AD相交于点F．

(1)求证：BF＝DO；

(2)若，试求经过B、F、O三点的抛物线l的解析式；

(3)在(2)的条件下，将抛物线l在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新图像，若直线BE向上平移t个单位与新图像有两个公共点，试求t的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵四边形ABCD是正方形　∴AB＝AD，∠BAF＝∠DAO＝90° 　　在△ABF和△ADO中　∵∠ABF＝∠ADO，AB＝AD，∠BAF＝∠DAO 　　∴△ABF≌△ADO ∴BF＝DO　　4分 　　(2)∵A()，B()∴AO＝m ，BO＝，AB＝m 　　∵　　 　　∴∠EBO＝∠EBD 　　∵∠DAB＝90°∴BD为直径∴∠BEO＝∠BED＝90° 　　又∵BE＝BE∴△BEO≌△BED 　　∴BD＝BO＝ 　　在Rt△BCD中BD＝AB 　　∴＝ 　　∴m＝ 　　∵△ABF≌△ADO 　　∴AF＝AO＝m＝ 　　∴F点的坐标为　　8分 　　∵抛物线l经过O，B() 　　设l的解析式为 　　将F代入得： 　　∴抛物线l的解析式为　　8分 　　(3)①如图，设直线BE与y轴相交于G，向上平移直线BE使平移后的直线经过原点O，由图像知，在平移前直线BE与新图像有1个公共点，平移到经过点O时与新图像有3个公共点　∴ 　　设直线BE的解析式为，将B()，F代入易求出：　　10分 　　当时，　∴ 　　此时t的取值范围是：　　11分 　　②如图，当直线BE向上平移至于抛物线相切后再向上平移时，直线BE与图象的交点又变为两个，设相切时直线BE的解析式为，则方程组有一个解　　12分 　　于是方程有两个相等的实数根，求出， 　　此时直线BE的解析式为， 　　直线BE与y轴的交点为(，) 　　 　　∴此时t的取值范围是：　　13分 　　综上所述：t的取值范围为：或　　14分