【题目】正方形ABCD的边AB在直线MN上,O是AC、BD的交点,过O作OE⊥MN于点E.
(1)如图1,线段AB与OE之间的数量关系为 .(请直接填结论)
(2)保证点A始终在直线MN上,正方形ABCD绕点A旋转(0<<90°),过点B作BF⊥MN于点F.
① 如图2,当点O、B两点均在直线MN右侧时,试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系?请说明理由.
② 如图3,当点O、B两点分别在直线MN两侧时,此时①中结论是否依然成立呢?若成立,请直接写出结论;若不成立,请写出变化后的结论并证明.
③ 当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时,线段AF、BF与OE之间的数量关系为 .(请直接填结论)
【答案】(1)AB=2OE;(2)①AF+BF=2OE, ②AF-BF=2OE, ③BF-AF=2OE,详见解析.
【解析】
(1)过点B作BG⊥OE于G,可得四边形BGEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BG,BF=GE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG,然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等,根据全等三角形对应边相等可得OG=AE,OE=BG,再根据AF-EF=AE,整理即可得证;
(2)图2,过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G,可得四边形BGEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BG,BF=GE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG,然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等,根据全等三角形对应边相等可得OG=AE,OE=BG,再根据AF-EF=AE,整理即可得证;
(3)图3,作OG⊥BF于G,可得四边形EFGO是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=GO,GF=EO,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠BOG,然后利用“角角边”证明△AOE和△BOG全等,根据全等三角形对应边相等可得OG=OE,AE=BG,再根据BF-BG=GF,整理即可得证.
(1)AB=2OE
(2)①AF+BF=2OE,
证明:过点B作BH⊥OE于点H∴∠BHE=∠BHO=90°∵OE⊥MN,BF⊥MN
∴∠BFE=∠OEF=90°∴四边形EFBH为矩形∴BF=EH,EF=BH
∵四边形ABCD为正方形∴OA=OB,∠AOB=90°∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90°
∴∠AOE=∠OBH∴△AEO≌△OHB(AAS)∴AE=OH,OE=BH
∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE.
②AF-BF=2OE,
证明:延长OE,过点B作BH⊥OE于点H
∴∠EHB=90°
∵OE⊥MN,BF⊥MN
∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90°
∴四边形HBFE为矩形∴BF=HE,EF=BH
∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OB,∠AOB=90°∴∠AOE+∠BOH=∠OBH+∠BOH
∴∠AOE=∠OBH∴△AOE≌△OBH(AAS)
∴AE=OH,OE=BH∴AF-BF
=AE+EF-HE=OH-HE+OE=OE+OE=2OE
③BF-AF=2OE
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【题目】如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(6,0)、B(8,8)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标;
(3)如图2,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,在坐标平面内有点P,求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应).
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【题目】随机抽取某市一年(以365天计)中的30天的日平均气温状况统计如下:温度()
温度() | 10 | 14 | 18 | 22 | 26 | 30 | 32 |
天数 | 3 | 5 | 5 | 7 | 6 | 2 | 2 |
请根据上述数据回答下列问题:
(1)估计该城市年平均气温大约是多少?
(2)上表中的温度数据的中位数是_______众数是_________;
(3)计算该城市一年中约有几天的日平均气温为?
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【题目】如图:在平面直角坐标系中,已知的三个顶点的坐标分别为,,.
(1)将向上平移个单位长度,再向左平移个单位长度,得到,请画出(点,,的对应点分别为,,)
(2)请画出与关于轴对称的(点,,的对应点分别为,,)
(3)请写出,的坐标
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°.
(1)判断∠D是否是直角,并说明理由.
(2)求四边形ABCD的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数与一次函数的图像交于点A.
(1)求点A的坐标;
(2)设x轴上一点P(a,b),过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧),分别交和的图像于点B、C,连接OC,若BC=OA,求△OBC的面积.
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【题目】如图,已知,等腰Rt△OAB中,∠AOB=90°,等腰Rt△EOF中,∠EOF=90°,连结AE、BF.
求证:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF.
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【题目】A、B两地相距60km,甲从A地去B地,乙从B地去A地,图中l1、l2分别表示甲、乙两人离B地的距离y(km)与甲出发时间x(h)的函数关系图象.
(1)根据图象,直接写出乙的行驶速度;
(2)解释交点A的实际意义;
(3)甲出发多少时间,两人之间的距离恰好相距5km;
(4)若用y3(km)表示甲乙两人之间的距离,请在坐标系中画出y3(km)关于时间x(h)的函数关系图象,注明关键点的数据.
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