Question

【题目】正方形ABCD的边AB在直线MN上，O是AC、BD的交点，过O作OE⊥MN于点E．

（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为 ．（请直接填结论）

（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转（0＜＜90°），过点B作BF⊥MN于点F．

① 如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．

② 如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．

③ 当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为 ．（请直接填结论）

Answer 1

【答案】（1）AB＝2OE;（2）①AF+BF=2OE, ②AF-BF=2OE, ③BF-AF=2OE,详见解析.

【解析】

（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；

（2）图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；

（3）图3，作OG⊥BF于G，可得四边形EFGO是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=GO，GF=EO，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠BOG，然后利用“角角边”证明△AOE和△BOG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=OE，AE=BG，再根据BF-BG=GF，整理即可得证．

（1）AB＝2OE

（2）①AF+BF=2OE，

证明：过点B作BH⊥OE于点H∴∠BHE＝∠BHO=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN

∴∠BFE＝∠OEF＝90°∴四边形EFBH为矩形∴BF＝EH，EF＝BH

∵四边形ABCD为正方形∴OA＝OB，∠AOB＝90°∴∠AOE+∠HOB＝∠OBH+∠HOB=90°

∴∠AOE＝∠OBH∴△AEO≌△OHB（AAS）∴AE＝OH，OE＝BH

∴AF+BF＝AE+EF+BF＝OH+BH+EH＝OE+OE＝2OE．

②AF-BF=2OE，

证明：延长OE，过点B作BH⊥OE于点H

∴∠EHB＝90°

∵OE⊥MN，BF⊥MN

∴∠AEO＝∠HEF＝∠BFE＝90°

∴四边形HBFE为矩形∴BF＝HE，EF＝BH

∵四边形ABCD是正方形

∴OA＝OB，∠AOB＝90°∴∠AOE+∠BOH＝∠OBH+∠BOH

∴∠AOE＝∠OBH∴△AOE≌△OBH（AAS）

∴AE＝OH，OE＝BH∴AF－BF

＝AE+EF－HE＝OH－HE+OE＝OE+OE＝2OE

③BF-AF=2OE