Question

如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，过D作AC∥DE交BC的延长线于点E，且CD²=AC•DE
（1）求证：∠DAC=∠DCE；
（2）若AD²=AB•AD+AC•DE，求证：∠ACD=90°．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）证明∠ACD=∠CDE，

CD

AC

=

DE

CD

，得到△ACD∽△CDE，即可解决问题．
（2）证明∠ACB=∠ADC，此为解题的关键性结论；结合∠B=∠ACD，得到△ABC∽△ACD，进而证明AC²=AD•AB，结合已知条件证明AD²=AC²+CD²，即可解决问题．

解答：证明：（1）如图，∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠CDE；
又∵CD²=AC•DE，
∴

CD

AC

=

DE

CD

；
∴△ACD∽△CDE，
∴∠DAC=∠DCE．
（2）∵△ACD∽△CDE，
∴∠ADC=∠E；
∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠E，
∴∠ACB=∠ADC；
∵∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△ACD，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，
∴AC²=AD•AB，
∵AD²=AB•AD+AC•DE，CD²=AC•DE，
∴AD²=AC²+CD²，
∴∠ACD=90°．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握判定定理及性质定理是灵活解题的基础和关键．