Question

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，0）、C（1，3），将△OAC绕AC的中点E旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线y=ax²-2x经过点A，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断点B是否在抛物线上；
（3）若点P是x轴上A点左边的一个动点，当以P、A、D为顶点的三角形与△OAB相似时，求出点P的坐标；
（4）若点M是y轴上的一个动点，要使△MAD的周长最小，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

解：（1）将A（2，0）代入y=ax²-2x得，
4a-4=0，
解得a=，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x；

（2）由旋转知，四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC=AO，
∵A（2，0）、C（1，3），
∴x_B=1+2=3，y_B=y_C=3，
∴B（3，3），
将B（3，3）代入y=x²-2x得，×3²-2×3=3，
∴点B在抛物线上；

（3）过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，
由y=x²-2x=（x-1）²-得顶点D（1，-），
∵B（3，3），
∴在Rt△BOE和Rt△DAF中，tan∠BOE===，
tan∠DAF===，
∴∠BOE=∠DAF=60°，
∵OA=2，OB==6，
AD==2，
∴△APD和△OAB相似分如下两种情况：
①APD=∠OAB时△APD和△OAB相似，
∴=，
即=，
解得AP=，
∴OP=OA-AP=2-=，
∴点P的坐标为（，0）；
②∠APD=∠OBA时△APD和△OBA相似，
∴=，
即=，
解得AP=6，
∴OP=AP-OA=6-2=4，
∴点P的坐标为（-4，0），
综上所述，点P（，0）或（-4，0）；

（4）点A（2，0）关于y轴的对称点A′坐标为（-2，0），
根据轴对称确定最短路线，直线A′D与y轴的交点即为使△MAD的周长最小的点M的位置，
设直线A′D的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线A′D的解析式为y=-x-，
x=0时，y=-，
∴点M的坐标为（0，-）．
分析：（1）把点A的坐标代入抛物线解析式求出a的值，即可得解；
（2）先判断出四边形OABC是平行四边形，然后求出BC∥OA，BC=AO，再根据点A、C的坐标求出点B的横坐标与纵坐标，然后把点B的坐标代入抛物线进行验证即可；
（3）过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，根据抛物线解析式求出点D的坐标，然后解直角三角形求出∠BOE=∠DAF=60°，然后求出OA、AD、AB，再分①∠APD=∠OAB时△APD和△OAB相似，②∠APD=∠OBA时△APD和△OBA相似，分别利用相似三角形对应边成比例列式求出AP的长，再求出OP，然后写出点P的坐标即可；
（4）根据轴对称确定最短路线问题，确定出点A关于y轴的对称点A′的坐标，然后求出直线A′D与y轴的交点即为所求的点M．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，旋转的性质，平行四边形的对边平行且相等的性质，抛物线上点的坐标特征，相似三角形的性质，以及利用轴对称确定最短路线问题，（3）分情况讨论是难点．