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【题目】如图,梯形OABC中,O为直角坐标系的原点,A、B、C的坐标分别为(14,0)、(14,3)、(4,3).点P、Q同时从原点出发,分别作匀速运动,其中点P沿OA向终点A运动,速度为每秒1个单位;点Q沿OC、CB向终点B运动,当这两点中有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动.设P从出发起运动了t秒.

(1)如果点Q的速度为每秒2个单位,①试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标(用含t的代数式表示,不要求写出t的取值范围);

②求t为何值时,PQ∥OC?

(2)如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半,①试用含t的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度;

②试问:这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分?如有可能,求出相应的t的值和P、Q的坐标;如不可能,请说明理由.

【答案】(1)点Q在OC上时Q(t,t)点Q在CB上时Q(2t﹣1,3)t=5;(2)v=,点Q所经过的路程为(16﹣t)直线PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分.

【解析】

试题分析:(1)①根据相似三角形的性质即可求得点Q在OC上时的坐标;根据路程即可求得点Q在CB上时的横坐标是(2t﹣5),纵坐标和点C的纵坐标一致,是3;

②显然此时Q在CB上,由平行四边形的知识可得,只需根据OP=CQ列方程求解;

(2)①设Q的速度为v,根据P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半,即可建立函数关系式;

②显然Q应在CB上,根据面积和①中的结论得到关于t的方程,进行求解.

试题解析:(1)①点Q在OC上时Q(t,t)点Q在CB上时Q(2t﹣1,3).

②显然Q在CB上,由平行四边形的知识可得,只须OP=CQ所以2t﹣5=t得t=5.

(2)①设Q的速度为v,先求梯形的周长为32,可得t+vt=16,所以v=,点Q所经过的路程为(16﹣t)

当Q在OC上时,做QM⊥OA,垂足为M,则QM=(16﹣t)×,∴S△OPQ=×(16﹣t)t=t(16﹣t)=S梯形OABC,则令t(16﹣t)=18,解得t1=10,t2=6,当t1=10时,16﹣x=6,此时点Q不在OC上,舍去;当t2=6时,16﹣x=10,此时点Q也不在OC上,舍去;∴当Q点在OC上时,PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分.

当Q点在CB上时,CQ=16﹣t﹣5=11﹣x,∴S梯形OPQC=×(11﹣x+x)×3=≠18,∴当Q点在CB上时,PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分.

综上所述,直线PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分.

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