【题目】如图,梯形OABC中,O为直角坐标系的原点,A、B、C的坐标分别为(14,0)、(14,3)、(4,3).点P、Q同时从原点出发,分别作匀速运动,其中点P沿OA向终点A运动,速度为每秒1个单位;点Q沿OC、CB向终点B运动,当这两点中有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动.设P从出发起运动了t秒.
(1)如果点Q的速度为每秒2个单位,①试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标(用含t的代数式表示,不要求写出t的取值范围);
②求t为何值时,PQ∥OC?
(2)如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半,①试用含t的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度;
②试问:这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分?如有可能,求出相应的t的值和P、Q的坐标;如不可能,请说明理由.
【答案】(1)①点Q在OC上时Q(t,t),点Q在CB上时Q(2t﹣1,3);②t=5;(2)①v=,点Q所经过的路程为(16﹣t);②直线PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分.
【解析】
试题分析:(1)①根据相似三角形的性质即可求得点Q在OC上时的坐标;根据路程即可求得点Q在CB上时的横坐标是(2t﹣5),纵坐标和点C的纵坐标一致,是3;
②显然此时Q在CB上,由平行四边形的知识可得,只需根据OP=CQ列方程求解;
(2)①设Q的速度为v,根据P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半,即可建立函数关系式;
②显然Q应在CB上,根据面积和①中的结论得到关于t的方程,进行求解.
试题解析:(1)①点Q在OC上时Q(t,t),点Q在CB上时Q(2t﹣1,3).
②显然Q在CB上,由平行四边形的知识可得,只须OP=CQ.所以2t﹣5=t得t=5.
(2)①设Q的速度为v,先求梯形的周长为32,可得t+vt=16,所以v=,点Q所经过的路程为(16﹣t);
②当Q在OC上时,做QM⊥OA,垂足为M,则QM=(16﹣t)×,∴S△OPQ=×(16﹣t)t=t(16﹣t)=S梯形OABC,则令t(16﹣t)=18,解得t1=10,t2=6,当t1=10时,16﹣x=6,此时点Q不在OC上,舍去;当t2=6时,16﹣x=10,此时点Q也不在OC上,舍去;∴当Q点在OC上时,PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分.
当Q点在CB上时,CQ=16﹣t﹣5=11﹣x,∴S梯形OPQC=×(11﹣x+x)×3=≠18,∴当Q点在CB上时,PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分.
综上所述,直线PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分.
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【题目】如图,已知点A、B、C在同一直线上,△ABD和△BCE都是等边三角形.则在下列结论中:①AP=DQ,②EP=EC,③PQ=PB,④∠AOB=∠BOC=∠COE.正确的结论是(填写序号).
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【题目】用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A.(SAS)
B.(SSS)
C.(ASA)
D.(AAS)
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【题目】下列说法不正确的是( )
A.0不是正数也不是负数
B.负数是带“—”的数,正数是带有“+”的数
C.非负数是正数或0
D.0是一个特殊的整数,它并不只是表示“没有”
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【题目】四边形ABCD是正方形(提示:正方形四边相等,四个角都是90°)
(1)如图1,若点G是线段CD边上任意一点(不与点C、D重合),连接AG,作BF⊥AG于点F,DE⊥AG于点E,求证:△ABF≌△DAE.
(2)如图2,若点G是线段CD延长线上任意一点,连接AG,作BF⊥AG于点F,DE⊥AG于点E,判断线段EF与AF、BF的数量关系,并证明.
(3)若点G是直线BC上任意一点(不与点B、C重合),连接AG,作BF⊥AG于点F,DE⊥AG于点E,探究线段EF与AF、BF的数量关系.(请画图、不用证明、直接写答案)
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【题目】在平面直角坐标系中,以点(2,1)为圆心,1为半径的圆必定( )
A.与x轴相切、与y轴相离B.与x轴、y轴都相离
C.与x轴相离、与y轴相切D.与x轴、y轴都相切
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