【题目】四边形ABCD是正方形(提示:正方形四边相等,四个角都是90°)
(1)如图1,若点G是线段CD边上任意一点(不与点C、D重合),连接AG,作BF⊥AG于点F,DE⊥AG于点E,求证:△ABF≌△DAE.
(2)如图2,若点G是线段CD延长线上任意一点,连接AG,作BF⊥AG于点F,DE⊥AG于点E,判断线段EF与AF、BF的数量关系,并证明.
(3)若点G是直线BC上任意一点(不与点B、C重合),连接AG,作BF⊥AG于点F,DE⊥AG于点E,探究线段EF与AF、BF的数量关系.(请画图、不用证明、直接写答案)
【答案】
(1)
证明:如图1,∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠DAB=90°,
∴∠DAE+∠BAE=90°,
∵DE⊥AG,BF⊥AG,
∴∠AED=∠AFB=90°,
∴∠EAD+∠ADE=90°,
∴∠ADE=∠BAF,
∵在△ABF和△DAE中
,
∴△ABF≌△DAE(AAS)
(2)
解:EF=AF+BF,
理由是:如图2,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠DAB=90°,
∴∠DAE+∠BAF=180°﹣90°=90°,
∵DE⊥AG,BF⊥AG,
∴∠AED=∠AFB=90°,
∴∠EAD+∠ADE=90°,
∴∠ADE=∠BAF,
∵在△ABF和△DAE中
,
∴△ABF≌△DAE(AAS);
∴AE=BF,
∴EF=AE+AF=AF+BF
(3)
解:如图3所示:
∵BF⊥AG,DE⊥AG,
∴∠BFA=∠DEA=90°.
∵∠BAF+∠ABF=90°,∠BAF+∠EAD=90°,
∴∠EAD=∠FBA.
在△ABF和△DAE中,
∵ ,
∴△ABF≌△DAE(AAS).
∴FB=AE.
∵AE=EF+AF,
∴EF=BF﹣AF.
如图4,∵DE⊥AG,BF⊥AG,
∴∠BFA=∠DEA=90°.
∵∠BAF+∠ABF=90°,∠BAF+∠EAD=90°,
∴∠EAD=∠FBA.
在△ABF和△DAE中,
∵ ,
∴△ABF≌△DAE(AAS).
∴AE=BF.
∵AE+EF=AF,
∴EF=AF﹣BF;
如图5,
∵DE⊥AG,BF⊥AG,
∴∠BFA=∠DEA=90°.
∵∠BAF+∠ABF=90°,∠BAF+∠EAD=90°,
∴∠EAD=∠FBA.
在△ABF和△DAE中,
,
∴△ABF≌△DAE(AAS).
∴AE=BF.
∵AE+AF=EF,
∴EF=AF+BF.
【解析】(1)根据正方形性质得出AB=AD,∠DAB=90°,根据垂直定义得出∠AED=∠AFB=90°,求出∠ADE=∠BAF,根据AAS证出两三角形全等即可;(2)根据正方形性质得出AB=AD,∠DAB=90°,根据垂直定义得出∠AED=∠AFB=90°,求出∠ADE=∠BAF,根据AAS证出两三角形全等即可,根据全等得出AE=BF,代入即可求出答案;(3)根据正方形性质得出AB=AD,∠DAB=90°,根据垂直定义得出∠AED=∠AFB=90°,求出∠ADE=∠BAF,根据AAS证出两三角形全等即可,结合G点可能在BC延长线上以及在线段BC上和在CB延长线上分别得出答案.
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【题目】下列命题中,真命题是( ).
A.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C.两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
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【题目】如图,梯形OABC中,O为直角坐标系的原点,A、B、C的坐标分别为(14,0)、(14,3)、(4,3).点P、Q同时从原点出发,分别作匀速运动,其中点P沿OA向终点A运动,速度为每秒1个单位;点Q沿OC、CB向终点B运动,当这两点中有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动.设P从出发起运动了t秒.
(1)如果点Q的速度为每秒2个单位,①试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标(用含t的代数式表示,不要求写出t的取值范围);
②求t为何值时,PQ∥OC?
(2)如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半,①试用含t的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度;
②试问:这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分?如有可能,求出相应的t的值和P、Q的坐标;如不可能,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于M,交AC于N.
(1)若∠ABC=70°,则∠MNA的度数是 .
(2)连接NB,若AB=8cm,△NBC的周长是14cm. ①求BC的长;
②在直线MN上是否存在P,使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小?若存在,标出点P的位置并求△PBC的周长最小值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,△ABC与△ADE关于直线MN对称,BC与DE的交点F在直线MN上.
(1)图中点B的对称点是 , 点C的对称点是;
(2)写出图中相等的一对线段是 , 相等的一对角是;
(3)写出图中全等的一对三角形是 .
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【题目】某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择,其中一种有月租费,另一种无月租费,且两种收费方式的通讯时间x(分钟)与收费y(元)之间的函数关系如图所示.
(1)有月租费的收费方式是(填①或②),月租费是元;
(2)分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式;
(3)请你根据用户通讯时间的多少,给出经济实惠的选择建议.
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