Question

19．如图，直线y=-$\frac{4}{3}$x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求S_△ABO．
（3）求点O到直线AB的距离．
（4）求直线AM的解析式．

Answer 1

分析 （1）由解析式令x=0，y=-$\frac{4}{3}$x+8=8，即B（0，8），令y=0时，x=6，即A（6，0）；
（2）根据三角形面积公式即可求得；
（3）根据三角形面积求得即可；
（4）由折叠的性质，可求得AB′与OB′的长，BM=B′M，然后设MO=x，由在Rt△OMB′中，OM²+OB′²=B′M²，求出M的坐标，设直线AM的解析式为y=kx+b，再把A、M坐标代入就能求出解析式．

解答 解：（1）当x=0时，y=-$\frac{4}{3}$x+8=8，即B（0，8），
当y=0时，x=6，即A（6，0）；
（2）∵点A的坐标为：（6，0），点B坐标为：（0，8），∠AOB=90°，
∴OA=6，OB=8，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∴S_△ABO．=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×6×8=24；
（3）设点O到直线AB的距离为h，
∵S_△ABO=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$AB•h，
∴$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×10h，
解得h=4.8，
∴点O到直线AB的距离无4.8；
（4）由折叠的性质，得：AB=AB′=10，
∴OB′=AB′-OA=10-6=4，
设MO=x，则MB=MB′=8-x，
在Rt△OMB′中，OM²+OB′²=B′M²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴M（0，3），
设直线AM的解析式为y=kx+b，把（0，3）；（6，0），
代入可得y=-$\frac{1}{2}$x+3．

点评 此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识，解答本题的关键是求出OM的长度．