Question

18．如图，在一个边长为4的等边三角形纸片中，截出一个面积最大的矩形，并用该矩形围成一个圆柱形无底纸筒，则纸筒的高为2或$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意设BM=x，则DM=$\sqrt{3}$x，BD=2x，表示出矩形DMNE的面积，利用二次函数最值求法，进而得出答案．

解答 解：如图所示：过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点K，
由题意可知：DE∥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴△ADE也是等边三角形，且∠BAH=30°，
∵AB=4，
∴AH=2$\sqrt{3}$，
设BM=x，则DM=$\sqrt{3}$x，BD=2x，
则AD=DE=4-2x，
S_矩形DMNE=DM×DE=$\sqrt{3}$x（4-2x）=-2$\sqrt{3}$x²+4$\sqrt{3}$x，
当x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{4\sqrt{3}}{2×（-2\sqrt{3}）}$=1时，S最大，
即DM=$\sqrt{3}$，
则该纸筒的高为$\sqrt{3}$．
当MN是圆柱的高时，则其高度为：2．
故答案为：2或$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质以及二次函数的应用，表示出矩形DMNE的面积是解题关键．