Question

如图，在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．

Answer 1

考点：四点共圆,等腰三角形的性质,直角三角形斜边上的中线,圆周角定理,圆内接四边形的性质,平行线分线段成比例,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：延长AH交BC于P，连接DF，根据圆内接四边形的性质可得∠AFG=∠ADE=∠ABC，从而有GF∥BC，根据平行线分线段成比例可得

AK

AP

=

AF

AB

，要求AK的长，只需求出AP、AF、AB长．运用勾股定理可求出CD及CE的长，易证△ADB∽△AEC，根据相似三角形的性质可求出AD、AE的长，在Rt△AEC中依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出DE长，在△DAE中根据等腰三角形的性质可求出AF的长，然后用面积法可得到AP=CE，问题得以解决．

解答：解：延长AH交BC于P，连接DF，如图．
由题知∠ADB=∠CDB=∠CEB=∠AEC=90°，
∵BC=25，BD=20，BE=7，
∴CD=15，CE=24．
又∵∠DAB=∠EAC，∠ADB=∠AEC，
∴△ADB∽△AEC，
∴

AD

AE

=

BD

CE

=

AB

AC

，①
由①得：

AD AE = 5 6 AE+7 AD+15 = 5 6

，
解得

AD=15 AE=18

，
∵∠AEC=90°，AD=CD=15，
∴DE=

1

2

AC=15．
∵点F在以DE为直径的圆上，
∴∠DFE=90°，
∵DA=DE，
∴AF=EF=

1

2

AE=9．
∵∠CDB=∠CEB=90°，
∴D、E、B、C四点共圆，
∴∠ADE=∠ABC．
∵G、F、E、D四点共圆，
∴∠AFG=∠ADE，
∴∠AFG=∠ABC，
∴GF∥BC．
∴

AK

AP

=

AF

AB

．②
∵H是△ABC的垂心，∴AP⊥BC，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CE=

1

2

BC•AP，
∵BA=BC=25，
∴AP=CE=24，
由②得AK=

AF•AP

AB

=

9×24

25

=8.64．

点评：本题考查了四点共圆的判定、圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度，证到GF∥BC从而得到

AK

AP

=

AF

AB

是解决本题的关键．