【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.
(1)①直接写出点B的坐标;②求抛物线解析式.
(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC.求△PAC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) 点B的坐标为1,0).y=-x2-x+2.(2) △PAC的面积有最大值是4,此时P(-2,3);(3)存在M1(0,2),M2(-3,2),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.
【解析】
试题分析:(1)①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标,然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标;②设抛物线的解析式为y=y=a(x+4)(x-1),然后将点C的坐标代入即可求得a的值;
(2)设点P、Q的横坐标为m,分别求得点P、Q的纵坐标,从而可得到线段PQ=-m2-2m,然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4,然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值,从而可求得点P的坐标;
(3)首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下几种情况分类讨论即可:①当M点与C点重合,即M(0,2)时,△MAN∽△BAC;②根据抛物线的对称性,当M(-3,2)时,△MAN∽△ABC; ④当点M在第四象限时,解题时,需要注意相似三角形的对应关系.
试题解析:(1)①y=x+2当x=0时,y=2,当y=0时,x=-4,
∴C(0,2),A(-4,0),
由抛物线的对称性可知:点A与点B关于x=-对称,
∴点B的坐标为1,0).
②∵抛物线y=ax2+bx+c过A(-4,0),B(1,0),
∴可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x-1),
又∵抛物线过点C(0,2),
∴2=-4a
∴a=-
∴y=-x2-x+2.
(2)设P(m,-x2-x+2).
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,
∴Q(m, m+2),
∴PQ=-m2-m+2-(m+2)
=-m2-2m,
∵S△PAC=×PQ×4,
=2PQ=-m2-4m=-(m+2)2+4,
∴当m=-2时,△PAC的面积有最大值是4,
此时P(-2,3).
(3)在Rt△AOC中,tan∠CAO=在Rt△BOC中,tan∠BCO=,
∴∠CAO=∠BCO,
∵∠BCO+∠OBC=90°,
∴∠CAO+∠OBC=90°,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACO∽△CBO,
如下图:
①当M点与C点重合,即M(0,2)时,△MAN∽△BAC;
②根据抛物线的对称性,当M(-3,2)时,△MAN∽△ABC;
③当点M在第四象限时,设M(n,-n2-n+2),则N(n,0)
∴MN=n2+n-2,AN=n+4
当时,MN=AN,即n2+n-2=(n+4)
整理得:n2+2n-8=0
解得:n1=-4(舍),n2=2
∴M(2,-3);
当时,MN=2AN,即n2+n-2=2(n+4),
整理得:n2-n-20=0
解得:n1=-4(舍),n2=5,
∴M(5,-18).
综上所述:存在M1(0,2),M2(-3,2),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.
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【题目】基本模型:如图1,点A,F,B在同一直线上,若∠A=∠B=∠EFC=90°,易得△AFE~△BCF.
(1)模型拓展:如图2,点A,F,B在同一直线上,若∠A=∠B=∠EFC,求证:△AFE~△BCF;
(2)拓展应用:如图3,AB是半圆⊙O的直径,弦长AC=BC=4,E,F分别是AC,AB上的一点,若∠CFE=45°,若设AE=y,BF=x,求y与x的函数关系式.
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【题目】有两个可以自由转动的均匀转盘,都被分成了3等份,并在每份内均标有数字,如图所示.规则如下:
①分别转动转盘;
②两个转盘停止后,将两个指针所指份内的数字相乘(若指针停止在等份线上,那么重转一次,直到指针指向某一份为止).
【1】用列表法或树状图分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率;
【2】小明和小亮想用这两个转盘做游戏,他们规定:数字之积为3的倍数时,小明得2分;数字之积为5的倍数时,小亮得3分.这个游戏对双方公平吗?请说明理由;认为不公平的,试修改得分规定,使游戏对双方公平.
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【题目】甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,在哪家超市购买此种商品更合算 ( )
A. 甲 B. 乙 C. 同样 D. 与商品价格无关
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【题目】用四舍五入法把3.1415926…精确到0.001得到的近似值是( )
A. 3.14 B. 3.142 C. 3.1416 D. 3.146
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【题目】八年级(1)班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后,利用课外活动时间积极参加体育锻炼,每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练,训练后都进行了测试.现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图.
请你根据上面提供的信息回答下列问题:
(1)扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 度,该班共有学生 人,训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 .
(2)老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试,请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率.
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