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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.

(1)①直接写出点B的坐标;②求抛物线解析式.

(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC.求△PAC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.

(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1) 点B的坐标为1,0).y=-x2-x+2.(2) △PAC的面积有最大值是4,此时P(-2,3);(3)存在M1(0,2),M2(-3,2),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.

【解析】

试题分析:(1)①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标,然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标;②设抛物线的解析式为y=y=a(x+4)(x-1),然后将点C的坐标代入即可求得a的值;

(2)设点P、Q的横坐标为m,分别求得点P、Q的纵坐标,从而可得到线段PQ=-m2-2m,然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4,然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值,从而可求得点P的坐标;

(3)首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下几种情况分类讨论即可:①当M点与C点重合,即M(0,2)时,△MAN∽△BAC;②根据抛物线的对称性,当M(-3,2)时,△MAN∽△ABC; ④当点M在第四象限时,解题时,需要注意相似三角形的对应关系.

试题解析:(1)①y=x+2当x=0时,y=2,当y=0时,x=-4,

∴C(0,2),A(-4,0),

由抛物线的对称性可知:点A与点B关于x=-对称,

∴点B的坐标为1,0).

②∵抛物线y=ax2+bx+c过A(-4,0),B(1,0),

∴可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x-1),

又∵抛物线过点C(0,2),

∴2=-4a

∴a=-

∴y=-x2-x+2.

(2)设P(m,-x2-x+2).

过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,

∴Q(m, m+2),

∴PQ=-m2-m+2-(m+2)

=-m2-2m,

∵S△PAC=×PQ×4,

=2PQ=-m2-4m=-(m+2)2+4,

∴当m=-2时,△PAC的面积有最大值是4,

此时P(-2,3).

(3)在Rt△AOC中,tan∠CAO=在Rt△BOC中,tan∠BCO=

∴∠CAO=∠BCO,

∵∠BCO+∠OBC=90°,

∴∠CAO+∠OBC=90°,

∴∠ACB=90°,

∴△ABC∽△ACO∽△CBO,

如下图:

①当M点与C点重合,即M(0,2)时,△MAN∽△BAC;

②根据抛物线的对称性,当M(-3,2)时,△MAN∽△ABC;

③当点M在第四象限时,设M(n,-n2-n+2),则N(n,0)

∴MN=n2+n-2,AN=n+4

时,MN=AN,即n2+n-2=(n+4)

整理得:n2+2n-8=0

解得:n1=-4(舍),n2=2

∴M(2,-3);

时,MN=2AN,即n2+n-2=2(n+4),

整理得:n2-n-20=0

解得:n1=-4(舍),n2=5,

∴M(5,-18).

综上所述:存在M1(0,2),M2(-3,2),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.

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