Question

12．如图．AB是⊙O的直径．C是⊙O上的一点．直线CE与AB的延长线相交于点E，已AD⊥CE，垂足为D．AD交⊙O于点F，AC平分∠DAE．
（1）证明：CE是⊙O的切线；
（2）连接FB交AC于H．若AB=6．AC=5，求AH的长．

Answer 1

分析 （1）求出∠DAC=∠CAO，∠OCA=∠CAO，推出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，求出OC⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）连接BC，证得△ADC∽△ACB，得出AD=$\frac{25}{6}$，根据勾股定理求得BC=$\sqrt{11}$，设OC与BF的交点为G，证得四边形DCGF是矩形，然后根据勾股定理得出OB²-OG²=BC²-CG²，即3²-（3-x）²=（$\sqrt{11}$）²-x²，求得DF的长，进而求得AF的长，最后根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AF}{AD}$，即$\frac{AH}{5}$=$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{25}{6}}$，即可求得AH的长．

解答 （1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAO，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC为半径，
CE是⊙O的切线；

（2）解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠AFB=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{5}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
∵∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴AD=$\frac{A{C}^{2}}{AB}$=$\frac{25}{6}$，
∵AD⊥BD，OC⊥BD，∠AFB=90°，
设OC与BF的交点为G，
∴四边形DCGF是矩形，
∴DF=CG，BF∥DC，
∴OC⊥BF，
设GC=x，则OG=3-x，
∴OB²-OG²=BC²-CG²，即3²-（3-x）²=（$\sqrt{11}$）²-x²，
解得x=$\frac{11}{6}$，
∴DF=CG=$\frac{11}{6}$，
∴AF=AD-DF=$\frac{25}{6}$-$\frac{11}{6}$=$\frac{7}{3}$，
∵BF∥DE，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AF}{AD}$，即$\frac{AH}{5}$=$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{25}{6}}$，
∴AH=$\frac{14}{5}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，矩形的判定，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．