Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．求：
（1）线段BE的长；
（2）cos∠ECB的值．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3$\sqrt{2}$，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函数得出AE=$\sqrt{2}$，即可得出BE的长；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH=BH=BE•cos45°=2，得出CH=1，根据勾股定理求出EC，在Rt△CHE中，由三角函数求出cos∠ECB=$\frac{CH}{CE}$，即可求出答案．

解答 解：（1））∵AD=2CD，AC=3，
∴AD=2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴∠A=∠B=45°，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，
∴AE=AD•cos45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
∴BE=AB-AE=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
即线段BE的长为2$\sqrt{2}$；

（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：
∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，
∴EH=BH=BE•cos45°=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
∵BC=3，
∴CH=1，
∴EC=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$
在Rt△CHE中，cos∠ECB=$\frac{CH}{CE}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题（2）的关键．