Question

11．如图，矩形ABCD中，AB=2，将矩形ABCD绕点D逆时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处，如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠CBA′的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}-1}{4}$

Answer 1

分析 如图，连接B、A′、C′，由题意可知∠CBA′=∠AC′D，可设AD=x，则可知A′D=x，A′C=2-x，在Rt△CBA′和Rt△A′C′D中，利用正切函数的定义可得关于x的方程，可求得x的值，再由正切函数的定义可求得答案．

解答 解：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=2，
由旋转的性质可得AD=AD′，C′D=AB=2，
设AD=x，则A′D=x，A′C=2-x，
∵A′、C′、B在同一条直线上，且A′B′∥C′D，
∴∠CBA′=∠DC′A′，
∴tan∠CBA′=tan∠DC′A′，
即$\frac{x}{2}$=$\frac{2-x}{x}$，解得x=-1+$\sqrt{5}$或x=-1-$\sqrt{5}$（小于0，不合题意，舍去），
∴tanCBA′=$\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故选B．

点评 本题主要考查矩形的性质、旋转的性质及三角函数的定义，利用旋转的性质和正切函数的定义求得矩形的宽是解题的关键．