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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D.

(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=3,∠B=30°.
①求⊙O的半径;
②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)

【答案】
(1)

解:(1)直线BC与⊙O相切;

连结OD,如图所示,

∵OA=OD,

∴∠OAD=∠ODA,

∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D,

∴∠CAD=∠OAD,

∴∠CAD=∠ODA,

∴OD∥AC,

∴∠ODB=∠C=90°,

即OD⊥BC.

又∵直线BC过半径OD的外端,

∴直线BC与⊙O相切.


(2)

解:①设OA=OD=r,在Rt△BDO中,∠B=30°,

∴OB=2r,

在Rt△ACB中,∠B=30°,

∴AB=2AC=6,

∴3r=6,解得r=2.

②在Rt△ACB中,∠B=30°,

∴∠BOD=60°.

∴所求图形面积为


【解析】(1)连接OD,根据平行线判定推出OD∥AC,推出OD⊥BC,根据切线的判定推出即可;
(2)①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r,AB=2AC=3r,从而求得半径r的值;②根据S阴影=S△BOD﹣S扇形DOE求得即可.
此题考查了圆的综合应用,涉及知识点有平行线性质,切线的判定,特殊角的直角三角形和分割法求阴影面积。

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(1)该班学生选择“报刊”的有 人.在扇形统计图中,“其它”所在扇形区域的圆心角是 度.(直接填结果)
(2)如果该校七年级有1500名学生,利用样本估计选择“网站”的七年级学生约有 人.(直接填结果)
(3)如果七年级(15)班班委会就这5种获取途径中任选两种对全校学生进行调查,求恰好选用“网站”和“课堂”的概率.(用树状图或列表法分析解答)

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训练后篮球定点投篮测试进球统计表

进球数(个)

8

7

6

5

4

3

人数

2

1

4

7

8

2

请你根据图表中的信息回答下列问题:

(1)训练后篮球定时定点投篮人均进球数为 个;
(2)选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是 ,该班共有同学 人;
(3)根据测试资料,参加篮球定时定点投篮的学生训练后比训练前的人均进球增加了25%,求参加训练之前的人均进球数.

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(2)请你判断谁的说法正确,为什么?

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