Question

2．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=60°，∠BCE=30°，再证出∠BED=∠D，得出BE=DB，即可得出AE=DB；
（2）由等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∠DBE=120°，再证出△AEF是等边三角形，得出AE=EF，BE=CF，证出∠FEC=∠D，证明△EFC≌△DBE，得出EF=DB，即可得出AE=DB．

解答 解：（1）AE=DB；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，AE=BE，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=∠D+∠BED，
∴∠BED=30°=∠D，
∴BE=DB，
∴AE=DB；
故答案为：=；
（2）AE=DB，理由如下：
过点E作EF∥BC，交AC于点F，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∴∠DBE=120°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠DCE，
∴∠A=∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF是等边三角形，∠EFC=120°，
∴AE=EF，
∴BE=CF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠DCE，
∴∠FEC=∠D，
在△EFC和△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EFC=∠DBE=120°}&{\;}\\{∠FEC=∠D}&{\;}\\{CF=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=DB，
∴AE=DB；
故答案为：=．

点评 本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明等边三角形和全等三角形才能得出结论．