Question

【题目】我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．

（1）如图①，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上，且AE＝AD．证明：四边形ABCE是“等对角四边形”．

（2）如图②，在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝53°，∠B＝90°，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈.

（3）如图③，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，CD＝4，若四边形ABCD是“等对角四边形”，且∠B＝∠D，则BD的最大值是　 ．（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CD＝10；（3）BD的最大值是4+4．

【解析】

（1）证明∠B＝∠E，即可证明四边形ABCE是“等对角四边形”；

（2）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，先证明四边形EBFD为矩形，于是BE＝DF，BF＝DE，在Rt△CDF中，tan∠FCD＝＝tan53°＝，可设DF＝4x，CF＝3x，则CD＝5x， 则BE＝DF＝4x，DE＝BF＝18﹣3x，AE＝17﹣4x，在Rt△ADE中，∠A＝53°，tan∠A＝，于是3DE＝4AE，列出方程3（18﹣3x）＝4（17﹣4x），求得x＝2，即CD＝5x＝10；

（3）由∠ABC＝60°，可知点B在以AC为边的等边三角形的外接圆的上运动，当BD经过圆心O时，BD最长，即为B1D的长，求出即可．

（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠B+∠ADC＝180°，

∵∠ADE+∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠ADE，

∵AE＝AD，

∠E＝∠ADE，

∴∠B＝∠E，

∴四边形ABCE是“等对角四边形”；

（2）如图②，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，

∴∠BED＝∠BFD＝90°，

又∠B＝90°，

∴四边形EBFD为矩形，

∴BE＝DF，BF＝DE，

在Rt△CDF中，

tan∠FCD＝＝tan53°＝，

设DF＝4x，CF＝3x ，则CD＝5x

∴BE＝DF＝4x，DE＝BF＝18﹣3x，AE＝17﹣4x，

在Rt△ADE中，∠A＝53°，tan∠A＝，

∴3DE＝4AE，

3（18﹣3x）＝4（17﹣4x），

∴x＝2，

CD＝5x＝10

（3）∵∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，

∴∠CDA＝60°，∠ABC＝60°，

∴点B在以AC为边的等边三角形的外接圆的上运动，

∴当BD经过圆心O时，BD最长，即为B1D的长，

如图③，连接DO，与弧交于点B1，连接OC，作OE∥AC，与DC的延长线交于点E

∵∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，CD＝4，

∴AC＝4，

易知∠OCA＝30°，∠COE＝∠OCA＝30°，

∴OC＝OB＝4，CE＝2，OE＝，

∴DE＝CE+DC＝2+4＝6

∴OD＝，

∴DB1＝OD+OB1＝4+4，

则BD的最大值是4+4．

故答案为4+4．