Question

【题目】定义：规定max（a，b）＝，例如：max（﹣1，2）＝2，max（3，3）＝3．

感知：已知函数y＝max（x+1，﹣2x+4）

（1）当x＝3时，y＝_____；

（2）当y＝3时，x＝______；

（3）当y随x的增大而增大时，x的取值范围为______；

（4）当﹣1≤x≤4时，y的取值范围为______；

探究：已知函数y＝max（x+2，）当直线y＝m（m为常数）与函数y＝max（x+2，）（﹣6＜x≤3）的图象有两个公共点时，m的取值范围为_______；

拓展：已知函数y＝max（﹣x2+2nx，﹣nx）（n为常数且n≠0），当n﹣3≤x≤2时，随着x的增大，函数值y先减小后增大，直接写出n的取值范围．

Answer 1

【答案】感知：（1）4；（2）2或；（3）x≥1；（4）2≤y≤6；探究：﹣2＜m＜﹣或4＜m≤5；拓展：2≤n＜6或n≤﹣6．

【解析】

感知：（1）利用题中新定义即可得到结果；

（2）利用题中新定义可对y=3所对应的的值进行分类得到两个方程，分别解方程即可求得结果；

（3）根据一次函数y=x+1和y=2x+4的图象特征，当y随x的增大而增大时，取函数y=x+1的图象部分，依题意可列出不等式，解不等式即可得出结果；

（4）根据题中新定义可列出y关于x的解析式，根据解析式和x的取值范围即可求得y的取值范围；

探究：同理（4）可得函数的解析式并画出图象，根据题意和图象即可求得m的取值范围；

拓展：先求出y=nx和y=﹣x2+2nx的图象交点，分n的情况可得函数的图象，再根据图象性质与题意列出不等式求解即可．

解：感知：（1）当x=3时，y=max(4，2)，

∴y=4，

故答案为：4；

（2）当y=3时，

①当x+1=3，则x=2，此时y=max(3，0)，

②当﹣2x+4=3，则x=，此时y=max(，3)，

故答案为：2或；

(3)∵y随x的增大而增大，

∴y=x+1，

∴x+1≥﹣2x+4，

∴x≥1，

故答案为：x≥1；

（4）∵max(a，b)=，

当x+1<﹣2x+4时，y=﹣2x+4，此时x<1，

当x+1≥﹣2x+4时，y= x+1，此时x≥1，

∴y=，

∵﹣1≤x≤4，

当﹣1≤x<1时，y=﹣2x+4，此时2<y≤6，

当1≤x≤4时，y=x+1，此时2≤y≤5，

∴2≤y≤6，

故答案为：2≤y≤6；

探究：∵y=max(x+2，)（﹣6<x≤3），

同理（4）得：y=，

如图所示，实线部分即为其图象，

由图象可得：当﹣6<x≤﹣4时，y=m与函数y=max(x+2，)（﹣6<x≤3）的图象有两个公共点，则﹣2＜m≤﹣；

当0≤x≤3时，y=m与函数y=max(x+2，)（﹣6＜x≤3）的图象有两个公共点，4＜m≤5；

综上所述：﹣2＜m≤﹣或4＜m≤5，

故答案为：﹣2＜m≤﹣或4＜m≤5；

拓展：y=﹣x2+2nx的对称轴为x=n，

令﹣x2+2nx=﹣nx，

解得:x=0或x=3n，

∴函数y=﹣x2+2nx与y=﹣nx的交点为(0，0)和(3n，3n2)，

①当n≥2时，如图1，由图象可知：0≤x≤2时，函数y=﹣x2+2nx随x值的增大而增大，

由题意得：n3<0，

∴n＜6，

∴2≤n＜6；

②当n<0时，如图2，由图象可得：n﹣3≥n，

∴n≤﹣6；

综上所述：2≤n＜6或n≤﹣6．