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【题目】如图所示,点D是等腰RtABC的斜边BC上一动点,连接AD,作等腰RtADE,使ADAE,且∠DAE90°连接BECE

1)判断BDCE的数量关系与位置关系,并进行证明;

2)当四边形ADCE的周长最小值是6时,求BC的值.

【答案】1BDCEBDCE;理由见解析;(2BC3

【解析】

1)利用SAS证出△ABD≌△ACE,然后根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可求出结论;

2)根据周长公式即可求出,四边形ADCE的周长=2AD+BC,其中BC为定值,四边形ADCE的周长最小,即AD最小,当AD⊥BC时,根据垂线段最短,此时AD最小,则四边形ADCE的周长最小,根据三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得AD=BC,从而求出BC

解:(1BDCEBDCE

理由:∵∠BAC=∠DAE90°,

∴∠BAD=∠CAE

在△ABD与△ACE中,

∴△ABD≌△ACESAS),

BDCE,∠ABD=∠ACE45°,

∵∠ACB45°,

∴∠BCE90°,

BDCE

2)∵四边形ADCE的周长=AD+AE+CE+CD=2AD+BD+CD=2AD+BC,其中BC为定值,

∴四边形ADCE的周长最小,即AD最小,

AD⊥BC时,根据垂线段最短,此时AD最小,则四边形ADCE的周长最小,

∵△ABC为等腰三角形,ADBC

AD=BC

∴此时四边形ADCE的周长= 2AD+BC=2×BC+BC=6

解得:BC3

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5_____________; (6__________

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