【题目】已知:如图,点E为正方形ABCD边BC上一动点,连接AE,并将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF.过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G.
(1)求证:△ABE≌△EGF;
(2)连接CF,延长FE交AB的延长线于点H.探究线段BH,BC,CF之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)连接AF交CD于M,若BH=1,CF=3.求AM的长.
【答案】(1)见解析;(2)CF2=2BHBC,理由见解析;(3)
【解析】
(1)根据同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,且AE=EF,利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等;
(2)结论:CF2=2BHBC.证明△ABE∽△EBH,可得EB2=ABBH,再证明BE=FG=CG即可解决问题.
(3)作FK⊥AB于K,交CD于M.由FN∥AD,推出,求出AD,FN,AF即可解决问题.
(1)证明:∵EF⊥AE,
∴∠AEB+∠GEF=90°,
又∵∠AEB+∠BAE=90°
∴∠GEF=∠BAE,
又∵FG⊥BC,
∴∠ABE=∠EGF=90°,
在△ABE与△EGF中,
,
∴△ABE≌△EGF(AAS);
(2)结论:CF2=2BHBC.
理由:∵∠AEH=∠ABE=∠EBH=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠BEH=90°,
∴∠BEH=∠EAB,
∴△ABE∽△EBH,
∴ ,
∴EB2=ABBH,
∵△ABE≌△EGF,
∴AB=EG,BE=FG,
∵AB=BC,
∴BC=EG,
∴BE=CG,
∴FG=CG,
∴CF2=FG2+CG2=2FG2,
∴CF2=2BHBC.
(3)作FK⊥AB于K,交CD于M.
∵CF2=2BHBC,CF=3,BH=1,
∴BC=9,
∵FG=CG=FN=CN=3,CD=BC=AD=AB=9,
∴AK=DN=6,
在Rt△AKF中,AF=,
∵FN∥AD,
.
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【题目】运算能力是一项重要的数学能力.王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题,对全班学生进行了三次运算测试.下面的气泡图中,描述了其中5位同学的测试成绩.(气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩,气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低;气泡越大平均分越高.)
①在5位同学中,有_____位同学第一次成绩比第二次成绩高;
②在甲、乙两位同学中,第三次成绩高的是_____.(填“甲”或“乙”)
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【题目】“绿水青山就是金山银山”,北京市民积极参与义务植树活动.小武同学为了了解自己小区300户家庭在2018年4月份义务植树的数量,进行了抽样调查,随即抽取了其中30户家庭,收集的数据如下(单位:棵):
1 1 2 3 2 3 2 3 3 4 3 3 4 3 3
5 3 4 3 4 4 5 4 5 3 4 3 4 5 6
(1)对以上数据进行整理、描述和
①绘制如下的统计图,请补充完整;
②这30户家庭2018年4月份义务植树数量的平均数是______,众数是______;
(2)“互联网+全民义务植树”是新时代首都全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新,2018年首次推出义务植树网上预约服务,小武同学所调查的这30户家庭中有7户家庭采用了网上预约义务植树这种方式,由此可以估计该小区采用这种形式的家庭有______户.
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【题目】数学课上,老师提出如下问题:已知点A,B,C是不在同一直线上三点,求作一条过点C的直线l,使得点A,B到直线l的距离相等.
小明的作法如下:
①连接AB;
②分别以A,B为圆心,以大于AB为半径画弧,两弧交于M、N两点;
③作直线MN,交线段AB于点O;
④作直线CO,则CO就是所求作的直线l.
老师肯定了小明的作法,根据上面的作法回答下列问题:
(1)小明利用尺规作图作出的直线MN是线段AB的 ;点O是线段AB的 ;
(2)要证明点A,点B到直线l的距离相等,需要在图中画出必要的线段,请在图中作出辅助线,并说明线段 的长是点A到直线l的距离,线段 的长是点B到直线l的距离;
(3)证明点A,B到直线l的距离相等.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CB=2,CA=4,线段AD由线段AB绕点A逆时针方向旋转90°得到,△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,当直线EF恰好经过点D时,CG的长等于_____.
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【题目】4月18日,一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行,如图,广场上有一风筝A,小江抓着风筝线的一端站在D处,他从牵引端E测得风筝A的仰角为67°,同一时刻小芸在附近一座距地面30米高(BC=30米)的居民楼顶B处测得风筝A的仰角是45°,已知小江与居民楼的距离CD=40米,牵引端距地面高度DE=1.5米,根据以上条件计算风筝距地面的高度(结果精确到0.1米,参考数据:sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈,≈1.414).
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【题目】某水果批发市场香蕉的价格如下表
购买香蕉数(千克) | 不超过20千克 | 20千克以上但不超过40千克 | 40千克以上 |
每千克的价格 | 6元 | 5元 | 4元 |
张强两次共购买香蕉50千克,已知第二次购买的数量多于第一次购买的数量,共付出264元,请问张强第一次,第二次分别购买香蕉多少千克?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,,CD⊥AB于点D,BE⊥AB于点B,BE=CD,连接CE,DE.
(1)求证:四边形CDBE为矩形;
(2)若AC=2,,求DE的长.
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【题目】有一个二次函数满足以下条件:
①函数图象与x轴的交点坐标分别为A(1,0),B(x2,y2)(点B在点A的右侧);
②对称轴是x=3;
③该函数有最小值是﹣2.
(1)请根据以上信息求出二次函数表达式;
(2)将该函数图象x>x2的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”,平行于x轴的直线与图象“G”相交于点C(x3,y3)、D(x4,y4)、E(x5,y5)(x3<x4<x5),结合画出的函数图象求x3+x4+x5的取值范围.
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