【题目】如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合,得到折痕MN,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到MN上的点F处,折痕AP交MN于E;延长PF交AB于G.求证:
(1)△AFG≌△AFP;
(2)△APG为等边三角形.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)由折叠的性质得到M、N分别为AD、BC的中点,利用平行线分线段成比例得到F为PG的中点,再由折叠的性质得到AF垂直于PG,利用SAS即可得证;
(2)由(1)的全等三角形,得到对应边相等,利用三线合一得到∠2=∠3,由折叠的性质及等量代换得到∠PAG为60°,根据AP=AG且有一个角为60°即可得证.
(1)由折叠可得:M、N分别为AD、BC的中点,
∵DC∥MN∥AB,
∴F为PG的中点,即PF=GF,
由折叠可得:∠PFA=∠D=90°,∠1=∠2,
在△AFP和△AFG中,
,
∴△AFP≌△AFG(SAS);
(2)∵△AFP≌△AFG,
∴AP=AG,
∵AF⊥PG,
∴∠2=∠3,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠2=∠3=30°,
∴∠2+∠3=60°,即∠PAG=60°,
∴△APG为等边三角形.
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【题目】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列说法中:
①ac<0;
②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1,x2=3;
③a+b+c>0;
④当x>1时,y随着x的增大而增大.
正确的说法有 . (请写出所有正确的序号)
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【题目】已知:长方形ABCD在坐标平面内的位置如图所示, A(1,1) C(-3,-4),点P从点A出发,沿着A→B→C→D→A的路径,以每秒个单位的速度运动.运动一周回到A点时停止运动.设运动时间为t秒.
(1)直接写出点B、点D的坐标.
(2)当t=6秒时,写出P点的坐标.
(3)当点P运动到与x轴的距离为个单位时直接写出t的值.
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【题目】已知如图,在△ABC中,AB=AC,点D是线段BC上一个动点,以AD为腰在线段AD的右侧作△ADE,且AD=AE。
(1)如图①,当∠BAC=∠DAE=90°时,试判断线段BD和CE有什么关系,并给出证明:
(2)在(1)的条件下,若BC=4.试判断四边形ADCE的面积是否发生变化,若不变,求出四边形ADCE的面积;若变化,请说明理由;
(3)如图②,若∠BAC=∠DAE=120°,BC=4,试探索△DCE的面积是否存在最大值,若存在,求出此时∠DEC的度数,若不存在,请说明理由。
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【题目】如图,点M是AB的中点,点P在MB上.分别以AP,PB为边,作正方形APCD和正方形PBEF,连结MD和ME.设AP=a,BP=b,且a+b=10,ab=20.则图中阴影部分的面积为________.
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【题目】如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线距离之和PE+PF是( )
A.4.8
B.5
C.6
D.7.2
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC、∠ACB的平分线BD,CE相交于O点,且BD交AC于点D,CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论:①BCD≌CBE;②BAD≌BCD;③BDA≌CEA;④BOE≌COD;⑤ ACE≌BCE;上述结论一定正确的是
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③⑤ D. ①③④
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【题目】如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3 在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=a,则△A6B6A7的边长为______.
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【题目】画图并填空:如图,方格纸中每个小正方形的边长都为 1,在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B 的对应点 B′.
(1)在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′;
(2)线段 AA′与线段 BB′的数量和位置关系是___________;
(3)求△A′B′C′的面积.
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