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【题目】如图,对折矩形纸片ABCD,使ABDC重合,得到折痕MN,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到MN上的点F处,折痕APMNE;延长PFABG.求证:

(1)AFG≌△AFP;

(2)APG为等边三角形.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.

【解析】

1)由折叠的性质得到M、N分别为AD、BC的中点,利用平行线分线段成比例得到FPG的中点,再由折叠的性质得到AF垂直于PG,利用SAS即可得证;

(2)由(1)的全等三角形,得到对应边相等,利用三线合一得到∠2=3,由折叠的性质及等量代换得到∠PAG60°,根据AP=AG且有一个角为60°即可得证.

1)由折叠可得:M、N分别为AD、BC的中点,

DCMNAB,

FPG的中点,即PF=GF,

由折叠可得:∠PFA=D=90°,1=2,

AFPAFG中,

∴△AFP≌△AFG(SAS);

(2)∵△AFP≌△AFG,

AP=AG,

AFPG,

∴∠2=3,

∵∠1=2,

∴∠1=2=3=30°,

∴∠2+3=60°,即∠PAG=60°,

∴△APG为等边三角形.

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