Question

5．（1）如图1，△ABC中，∠A=60°，点E是两条内角平分线的交点，求∠BEC的度数；
（2）如图2，∠MON=80°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC与BD交于点P．试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化？若保持不变，请求出∠APB的度数．若发生变化，求出变化范围．
（3）图3画两条相交的直线OX、OY，使∠XOY=60°，②在射线OX、OY上分别再任意取A、B两点，③作∠ABY的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C，随着点A、B位置的变化，∠C的大小是否会变化？若保持不变，请求出∠C的度数．若发生变化，求出变化范围．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠EBC+∠ECB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠APB的度数，再根据三角形内角和是180°即可求解；
（3）令∠OAC=∠CAB=x，∠ABD=∠BDY=y，再根据三角形的外角性质即可求解．

解答 解：（1）∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°．
∵点E是两条内角平分线的交点，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-60°=120°；

（2）不变．
∵在△AOB中，∠MON=80°，
∴∠OAB+∠OBA=100°，
又∵AC、BD为角平分线，
∴∠PAB+∠PBA=$\frac{1}{2}$∠OAB+$\frac{1}{2}$∠OBA=$\frac{1}{2}$×100°=50°，
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=130°，
即随着点A、B位置的变化，∠APB的大小始终不变，为130°；

（3）不变．
令∠OAC=∠CAB=x，∠ABD=∠BDY=y，
∵∠ABY是△AOB的外角，
∴2y=n+2x，
同理，∠ABD是△ABC的外角，有y=∠C+x，
∴∠C=$\frac{∠XOY}{2}$=$\frac{60°}{2}$=30°．

点评 本题考查的是三角形的内角和定理及三角形外角的性质，解答此题的关键是熟知以下知识：①三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；②三角形的内角和是180°．