Question

18．如图，在菱形ABCD中，AD∥x轴，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），CD边所在直线y₁=mx+n与x轴交于点C，与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$（x＜0）交于点D
（1）求直线CD的函数表达式及k的值；
（2）把菱形ABCD沿y轴的正方向平移多少个单位后，点C落在双曲线y₂=$\frac{k}{x}$（x＜0）上？
（3）直接写出使y₁＞y₂的自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求得AB的长，进而求得D、C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线CD的函数表达式及k的值；
（2）把x=-2代入y₂=-$\frac{20}{x}$（x＜0）得，y=-$\frac{20}{-2}$=10，即可求得平移的距离；
（3）根据函数的图象即可求得使y₁＞y₂的自变量x的取值范围．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=5，
∴D（-5，4），C（-2，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=-5m+n}\\{0=-2m+n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{4}{3}}\\{n=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线CD的函数表达式为y₁=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$，
∵D点在反比例函数的图象上，
∴4=$\frac{k}{-5}$，
∴k=-20．
（2）∵C（-2，0），
把x=-2代入y₂=-$\frac{20}{x}$（x＜0）得，y=-$\frac{20}{-2}$=10，
∴把菱形ABCD沿y轴的正方向平移10个单位后，点C落在双曲线y₂=$\frac{k}{x}$（x＜0）上．
（3）由图象可知：当x＜-5时，y₁＞y₂．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式等；求得D、C的坐标是解题的关键．