Question

18．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由．

Answer 1

分析 通过全等三角形的判定定理AAS证得△DBH≌△DCA，所以BH=AC，即线段BH与AC相等；

解答 解：线段BH与AC相等．理由如下：
∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，
∴∠BCD=∠ABC=45°，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA．
∵在△DBH与△DCA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBH=∠DCA}\\{∠BDH=∠CDA}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBH≌△DCA（AAS），
∴BH=AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．关键是推出△DBH≌△DCA．