Question

（1）已知关于x、y的方程组

x-2y=m 2x+3y=2m+4

的解集满足不等式

3x+y≤0 x+5y＞0

求满足条件的m的整数值．
（2）描述证明：海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象
①请你应数学表达式补充完整海宝发现的这个有趣的现象；
②请你证明海宝发现的这个有趣现象．

Answer 1

考点：二元一次方程组的解,分式的混合运算

专题：

分析：（1）首先根据方程组可得y=

4

7

，把y=

4

7

代入①得：x=m+

8

7

，然后再把x=m+

8

7

，y=

4

7

代入不等式组

3x+y≤0 x+5y＞0

中得

3m+4≤0 m+4＞0

，再解不等式组，确定出整数解即可．
（2）①根据海宝的叙述，易得到规律为若

a

b

+

b

a

+2=ab，那么a+b=ab；
②首先将①式的等号左边通分、合并，此时分子是一个完全平方式，等号左右两边同乘以ab，可得到：（a+b）²=（ab）²，由于a、b均为正数，即可证得①的结论．

解答：（1）解：

x-2y=m① 2x+3y=2m+4②

，
①×2得：2x-4y=2m③，
②-③得：y=

4

7

，
把y=

4

7

代入①得：x=m+

8

7

，
把x=m+

8

7

，y=

4

7

代入不等式组

3x+y≤0 x+5y＞0

中得

3m+4≤0 m+4＞0

，
解不等式组得：-4＜m≤-

4

3

，
则m=-3，-2．
（2）①解：若

a

b

+

b

a

+2=ab，那么a+b=ab；

②证明：∵

a

b

+

b

a

+2=ab，
∴

a2+b2+2ab

ab

=ab，
∴a²+b²+2ab=（ab）²，
∴（a+b）²=（ab）²，
∵a＞0，b＞0，a+b＞0，ab＞0，
∴a+b=ab．

点评：（1）主要考查了一元一次不等式组的整数解，以及二元一次方程的解，关键是掌握消元的方法，用含m的式子表示x、y．
（2）主要考查的是分式的加减运算及完全平方公式的应用，通过图表形象地解决了数学知识．