Question

【题目】如图，已知抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）与x轴的交点为A，B，与y轴的交点为C，D为抛物线的顶点．

（1）直接写出各点坐标C（　 　，　 　），D（　 　，　 　）；（用m表示）

（2）试说明无论m为何值，抛物线一定经过两个定点并求出这两个定点的坐标；

（3）①将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到AC′，求点C′的坐标；

②连接DC'，AD，是否存在m，使得△ADC′为等腰三角形？若存在，请求出m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）0，3m，2，﹣m；（2）见解析；（3）①点C'坐标为（1+3m，1），②存在m，m的值为（2+）或（2﹣）时，△ADC′为等腰三角形．

【解析】

（1）令x=0即求得点C坐标，对抛物线解析式进行配方即求得顶点D坐标．
（2）对抛物线解析式进行因式分解，得y=m（x-1）（x-3），由于m大于0，所以当（x-1）（x-3），即有y=0，求得抛物线过定点（1，0）和（3，0）．
（3）①由哦（2）得A（1，0），即OA=1．过点C'作x轴垂线C'E，易证△AEC'≌△COA，所以AE=CO=3m，C'E=OA=1，求得点C'（1+3m，1）．
②由两点间距离公式用m表示AC'2、AD2、C'D2，易得AC'≠AD，AD≠C'D，所以△ADC'要成为等腰三角形，只能AC'=C'D，把含m的式子代入解方程即求得m的值．

（1）∵x＝0时，y＝mx2﹣4mx+3m＝3m

∴C（0，3m）

∵y＝mx2﹣4mx+3m＝m（x﹣2）2﹣m

∴D（2，﹣m）

故答案为：0，3m，2，﹣m．

（2）证明：y＝mx2﹣4mx+3m＝m（x2﹣4x+3）＝m（x﹣1）（x﹣3）

∵m＞0

∴当（x﹣1）（x﹣3）＝0时，y＝0

解得：x1＝1，x2＝3

∴抛物线一定经过定点（1，0）和（3，0）

（3）

①过点C'作C'E⊥x轴于点E

∴∠AEC'＝90°

由（2）可得，A（1，0），B（3，0）

∴OA＝1

∵C（0，3m）

∴OC＝3m

∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到AC′

∴AC'＝AC，∠CAC'＝90°

∴∠OAC+∠C'AE＝∠OAC+∠ACO＝90°

∴∠C'AE＝∠ACO

在△AEC'与△COA中

∴△AEC'≌△COA（AAS）

∴AE＝CO＝3m，C'E＝OA＝1

∴OE＝OA+AE＝1+3m

∴点C'坐标为（1+3m，1）

②存在m，使得△ADC′为等腰三角形．

∵A（1，0），C'（1+3m，1），D（2，﹣m）

∴AC'2＝（1+3m﹣1）2+12＝9m2+1，AD2＝（2﹣1）2+（﹣m）2＝1+m2，C'D2＝（1+3m﹣2）2+（1+m）2＝10m2﹣4m+2

∴AC'2＞AD2，AD2＜C'D2

即AC'≠AD，AD≠C'D

∴△ADC′为等腰三角形时，AC'＝C'D

∴9m2+1＝10m2﹣4m+2

解得：m1＝2+，m2＝2﹣

∴m的值为（2+）或（2﹣）时，△ADC′为等腰三角形．