Question

2．已知：M点是等边三角形△ABC中BC边上的中点，也是等边△DEF中EF边上的中点，连结AD．
（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出$\frac{AD}{BE}$的值；
（2）如图2，△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M顺时针旋转α（0°≤α≤90°）角，
①判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；
②作DH⊥BC于点H．设BH=x，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB=6，DE=2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作DG⊥AB于点G，作EH⊥AB于点H．则四边形DGHE是矩形，则在直角△ADG和直角△BEH中，利用x表示出AD和BE的长，即可求得数量关系；
（2）①连接DM，AM，然后证明△ADM∽△BEM，即可证得结论；②分（Ⅰ）当△DEF绕点M顺时针旋转α（0°≤α≤90°）角，根据△ADM∽△BEM，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方，以及面积的和差即可求得函数的解析式．

解答 解：（1）作DG⊥AB于点G，作EH⊥AB于点H．则四边形DGHE是矩形（如图1），
设DG=HE=x，
在直角△ADG中，AD=$\frac{DG}{sin30°}$=2x，
在直角△BEH中，BE=$\frac{HE}{sin60°}$=$\frac{2x}{\sqrt{3}}$，
则$\frac{AD}{BE}$=$\sqrt{3}$．

（2）①存在，证明：连接DM，AM．
在等边三角形ABC中，M为BC的中点，
∴AM⊥BC，∠BAM=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，$\frac{AM}{BM}$=$\sqrt{3}$．
∴∠BME+∠EMA=90°．
同理，$\frac{DM}{EM}$=$\sqrt{3}$，∠AMD+∠EMA=90°．
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{DM}{EM}$，∠AMD=∠BME．
∴△ADM∽△BEM．
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{DM}{EM}$=$\sqrt{3}$．
当△DEF绕点M顺时针旋转α（0°≤α≤90°）角时，（如图2），
∵△ADM∽△BEM，
∴$\frac{{S}_{△ADM}}{{S}_{△BEM}}$=（$\frac{AD}{BE}$）²=3．
∴S_△BEM=$\frac{1}{3}$S_△ADM
∴S=S_△ABM+S_△ADM-S_△BEM-S_△DEM
=S_△ABM+$\frac{2}{3}$S_△ADM-S_△DEM
=$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$（x-3）-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$
=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$．
∴s=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$ （3≤x≤3+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等边三角形的性质，正确作出辅助线，求得函数的解析式是关键．