Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，P为⊙O外一点，作∠CPD=∠A，使PD交⊙O于D、E两点，并与AB、AC分别交于点M、N．
（1）求证：DN•NE=MN•NP．
（2）若PD∥CB，求证：PC是⊙O的切线．

Answer 1

（1）证明：在△ANM和△PNC中，∠ANM=∠PNC，∠CPD=∠A，
∴△ANM∽△PNC，
∴，
即AN•NC=MN•NP；

（2）证明：由（1）知△ANM∽△PNC，
∴∠PCA=∠AMP，
又∵PD∥BC，
∴∠AMP=∠ABC，
∴∠PCA=∠ABC，
则∠GBC=90°，且∠ACG=∠ABG
∴∠PCA+∠ACG=∠ABC+∠ABG=∠GBC=90°
∴∠PCG=90°，
∵CG为⊙O的直径，
∴PC是⊙O的切线．
分析：（1）由题目所给的条件可知：∠ANM=∠PNC，∠CPD=∠A，所以△ANM∽△PNC，由相似三角形的性质可知：，即AN•NC=MN•NP；
（2）由（1）知△ANM∽△PNC，所以∠PCA=∠AMP，又因为PD∥BC，所以∠AMP=∠ABC，所以∠PCA=∠ABC，再证明∠PCG=90°即可证明PC是⊙O的切线．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质．圆周角定理以及切线的判定，要求学生善于观察图形寻找角与角之间存在的关系，培养学生的逻辑思维能力，是一道中档题．