Question

7．如图，△AOB与△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，AC与BD交于点P．
（1）判断AC与BD的数量关系并加以证明．
（2）猜想∠CPB与∠AOB的关系并加以证明．

Answer 1

分析 （1）结论：AC=BD，欲证明AC=BD，只要证明△AOC≌△BOD即可．
（2）结论：∠CPB+∠AOB=180°，利用：“8字型”证明∠DPG=∠COG即可．

解答 解：（1）结论：AC=BD，理由如下：
∵AOB=∠COD，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=OB}\\{∠AOC=∠BOD}\\{DO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD
（2）结论：∠CPB+∠AOB=180°，理由如下：
设AC与DO交于点G，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠OCG=∠GDP，
∵∠DPG=180°-∠GDP-∠DGP，∠COD=180°-∠OCG-∠CGO，∠CGO=∠DGP，
∴∠DPG=∠COG，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠DOG=∠AOB，
∴∠CPB=180°-∠DPG=180°-∠AOB，
∴∠CPB+∠AOB=180°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会利用：“8字型”证明角相等，属于中考常考题型．