Question

3．（1）在△ABC中，∠BAC=45°，CD，AE是高，探究AE，CE，DE的关系，并证明；
（2）在△ABC中，∠BAC=α，CD，AE是高，探究AE，CE，DE的关系，并证明．（结果用含α的式子表示）

Answer 1

分析 （1）结论：AE+CE=$\sqrt{2}$DE，延长EA到F使得AF=CE，只要证明△DAF≌△DCE即可解决问题；
（2）结论：ED=AE•sinα-CE•cosα，在AE上取一点F使得∠ADF=∠EDC，在AE上取一点F使得∠ADF=∠EDC，由△DAF∽△DCE，得$\frac{CE}{AF}$=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DC}{DA}$=tanα，所以AF=$\frac{CE}{tanα}$，再根据$\frac{DE}{EF}$=sinα，求出DE即可．

解答 解：（1）结论AE+CE=$\sqrt{2}$DE理由如下：
延长EA到F使得AF=CE，
∵CD⊥AB，AE⊥CB，∠BAC=45°，
∴∠ADC=∠AEC=90°，∠DAC=∠DCA=45°，
∴DA=DC，∠DAE+∠DCE=180°，
∵∠DAF+∠DAE=180°，
∴∠DAF=∠DCE，
在△DAF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{∠DAF=∠DCE}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△DCE，
∴DE=DF，∠ADF=∠CDE，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴EF=$\sqrt{2}$DE，
∴AE+EC=AE+AF=FE=$\sqrt{2}$DE．
（2）结论：DE=AE•sinα-CE•cosα，理由如下：
在AE上取一点F使得∠ADF=∠EDC，
∵∠ADF=∠EDC，
∴∠EDF=∠CDA=90°，
∵∠ADC=∠AEC=90°，
∴A、D、E、C四点共圆，
∴∠DAF=∠DCE，
∴△DAF∽△DCE，
∴$\frac{CE}{AF}$=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DC}{DA}$=tanα，
∴AF=$\frac{CE}{tanα}$，
∵∠DFE+∠DEF=90°，∠DCA+∠BAC=90°，∠DEF=∠DCA，
∴∠DFE=∠DAC=α，
∴$\frac{DE}{EF}$=sinα，
∴ED=EF•sinα=（AE-AF）sinα=（AE-$\frac{CE}{tanα}$）sinα=AE•sinα-CE•cosα．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、四边形内角和定理、四点共圆的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形或相似三角形是解决问题的关键，属于中考常考题型．