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【题目】如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3),双曲线y= (x>0)的图象经过BC上的点D与AB交于点E,连接DE,若E是AB的中点.

(1)求点D的坐标;

(2)点F是OC边上一点,若△FBC和△DEB相似,求点F的坐标.

【答案】(1)点D的坐标为(1,3)2)(0 (00)

【解析】试题分析:(1)先求出点E的坐标,求出反比例函数解析式,再求出CD=1,即可得出点D的坐标,(2)FBC和△DEB相似可以分两种情况进行求解, ①当△FBC∽△DEB时,可得,求出CF,得出F点的坐标,利用待定系数法可求出BF的直线解析式,

②当△FBC∽△EDB,可得,求出C,F,OF,得出F点坐标,利用待定系数法求出直线BF的解析式.

(1)∵四边形OABC为矩形,E为AB的中点,点B的坐标为(2,3),∴点E的坐标为.∵点E在反比例函数上,∴k=3,∴反比例函数的解析式为y=.∵四边形OABC为矩形,∴点D与点B的纵坐标相同,将y=3代入y=可得x=1,∴点D的坐标为(1,3)

(2)由(1)可得BC=2,CD=1,∴BD=BC-CD=1.∵E为AB的中点,∴BE=.若△FBC∽△DEB,则,即∴CF∴OFCOCF3,∴点F的坐标为;若△FBC∽△EDB,则,即,∴FC=3.∵CO=3,∴点F与点O重合,∴点F的坐标为(0,0).综上所述,点F的坐标为(00)

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