Question

已知：如图，?ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于点H，BF、AD的延长线相交于点G．
求证：（1）AB=BH；（2）△ABG∽△HEB；（3）AB²=GA•HE．

Answer 1

证明：（1）∵DE⊥BC于E，∠DBC=45°，
∴∠BDE=45°，
∴BE=DE，
∵BF⊥CD于F，DE⊥BC于E，
∴∠HBE+∠C=90°，∠CDE+∠C=90°，
∴∠HBE=∠CDE，
在△HBE和△CDE中，
，
∴△HBE≌△CDE（ASA），
∴BH=CD，
∵?ABCD中，AB=CD，
∴AB=BH；

（2）∵BF⊥CD于F，
∴∠BFC=90°，
∵?ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABG=∠BFC=90°，
∵?ABCD中，AD∥BC，
∴∠G=∠HBE，
∴△ABG∽△HEB；

（3）∵△ABG∽△HEB，
∴，
∵由（1）知AB=BH
∴即AB²=GA•HE．
分析：（1）由?ABCD中，∠DBC=45°，易得BE=DE，又由DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，易得∠HBE=∠CDE，即可利用ASA判定△HBE≌△CDE，即可得BH=CD，又由?ABCD，易得AB=BH；
（2）易得∠ABG=∠BFC=90°，∠G=∠HBE，根据有两角对应相等的三角形相似，可判定△ABG∽△HEB；
（3）由△ABG∽△HEB，根据相似三角形的对应边成比例与AB=BH，易证得AB²=GA•HE．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用是解此题的关键．