Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求△OAC的面积；
（3）若P为线段OA（不含O、A两点）上的一个动点，过点P作PD∥AB交直线OC于点D，连接PC．设OP=t，△PDC的面积为S，求S与t之间的函数关系式；S是否存在最大值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=-2x+12与直线y=x交于点C，
∴x=-2x+12，
解得x=4，

所以y=4，所以C点的坐标为（4，4）．

（2）由-2x+12=0得x=6，
所以S_△OAC=×6×4=12．

（3）如图，分别过点C、D作OA的垂线，垂足分别为M、N点，
因为PD∥AC，所以，
即=，所以DN=t．
所以S=S_△OAC-S_△OPD-S_△PAC
=12-OP•DN-PA•CM=12-t•t-（6-t）•4=-t²+2t=-（t-3）²+3．
当t=3时，S有最大值，最大值为3．
分析：（1）因为直线y=-2x+12与直线y=x交于点C，所以令x=y，即可得到x=-2x+12，解之即可求出点A的坐标；
（2）因为直线y=-2x+12与x轴交于点A，所以令y=0，即可求出A的坐标，也可求出OA的值，利用S_△OAC=×OA×4即可求出三角形的面积；
（3）可分别过点C、D作OA的垂线，设垂足分别为M、N点，因为PD∥AC，所以，即=，所以DN=t，又因S=S_△OAC-S_△OPD-S_△PAC，将有关数据代入即可求得S与t之间的函数关系式，利用所求的二次函数解析式，结合t的取值即可得到当t=3时，S有最大值，最大值为3．
点评：本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式和利用函数求最值的问题，而解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．