Question

7．如图，在△ABC中，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，OB=5，点C在y轴负半轴上，且OC=5，抛物线y=a（x-2）²+k经过△ABC的三个顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设横坐标为t的点P为抛物线上位于直线BC下方的一点，过点P作PQ∥BC交x轴于点Q，若直线PQ与直线BC之间的距离为d（d≠0），求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接PA交BC于点E，当t为何值时，使AE=2PE？

Answer 1

分析 （1）根据题意得出B，C点坐标，直接代入解析式求出即可；
（2）作PN⊥y轴，延长BC交PN于点M，作BR⊥PQ，利用抛物线y=x²-4x-5，得出点B，C的坐标，求出MP的长，在RT△BRQ中∠RBQ=45°，即可得出d与t之间的函数关系式．
（3）由BQ=-t²+5t，AB=6，结合平行线分线段成比例列出式子求解即可得出t的值．

解答 解：（1）∵OB=5，点C在y轴负半轴上，且OC=5，
∴B（5，0），C（0，-5）代入抛物线解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{9a+k=0}\\{-5=4a+k}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=-9}\end{array}\right.$
∴抛物线y=（x-2）²-9=x²-4x-5；

（2）如图1，作PN⊥y轴，延长BC交PN于点M，作BR⊥PQ，

∵抛物线y=x²-4x-5，
∴B（5，0），
∴OC=OB=5，
∴∠OCB=45°，
∴∠MCN=45°，
∴CN=MN，
∵P（t，t²-4t-5），
∴MN=CN=-（t²-4t-5）-5=-t²+4t，
∴MP=MN+NP=-t²+4t+t=-t²+5t
∵四边形MPQB是平行四边形，
∴BQ=-t²+5t，
∵在RT△BRQ中∠RBQ=45°，
∴d=（-t²+4t）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t²+2$\sqrt{2}$t．（0＜t＜5）

（3）如图2，连接AP交BC于点E，

由（2）可知BQ=-t²+5t，
∵AB=6，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{AB}{BQ}$，
∵AE=2PE，
∴2=$\frac{6}{-{t}^{2}+5t}$，
解得：t₁=$\frac{5-\sqrt{13}}{2}$，t₂=$\frac{5+\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．