Question

17．如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，AD=DC，点E在DC边上，连接BE、EA，EA平分∠BED，点F是BE上一点，AF⊥BE于F，连接CF．
（1）求证：DE=EF；
（2）若AE∥CF，BF=2，BC=4，求AB长．

Answer 1

分析 （1）利用“AAS”证得△ADE≌△AFE，得出结论即可；
（2）作AG⊥CB，交CB的延长线于G，先证明四边形AGCD是正方形，得出AG=AD=AF，再由HL证明Rt△ABG≌Rt△ABF，得出对应边相等BG=BF，求出AG=CG，然后根据勾股定理求出AB．

解答 （1）证明：∵AF⊥BE，∠BCD=∠D=90°，
∴∠AFE=∠D=90°，
∵EA平分∠BED，
∴∠FEA=∠DEA，
在△ADE和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠AFE}\\{∠DEA=∠FEA}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AFE（AAS），
∴DE=EF；
（2）解：作AG⊥CB，交CB的延长线于G，如图所示：
则∠AGC=90°，
∵∠BCD=∠D=90°，
∴四边形AGCD是矩形，
∵AD=DC，
∴矩形AGCD是正方形，
∴AG=AD=CG，
∵△ADE≌△AFE，
∴AD=AF，
∴AG=AF，
在Rt△ABG和Rt△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AB}\\{AG=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△ABF（HL），
∴BG=BF=2，
∴AG=CG=BC+BG=6，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{A{G}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理的运用；证明三角形全等和正方形是解决问题的关键．