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【题目】设函数f(x)= ﹣2+2alnx.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)在区间[ ,2]上的最小值为0,求实数a的值.

【答案】
(1)解:f′(x)=﹣ + = (x>0).

a≤0时,f′(x)<0,此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.

a>0时,f′(x)= ,则x∈ 时,函数f(x)单调递减;

x∈ 时,函数f(x)单调递增


(2)解:由(1)可得:

①a≤0时,函数f(x)在[ ,2]上单调递减,则f(2)=1﹣2+2aln2=0,解得a= ,舍去.

②a>0时,

(i) ≥2,即0<a≤ 时,f(x)在[ ,2]上单调递减,则f(2)=1﹣2+2aln2=0,解得a= ,舍去.

(ii)0< ,即a≥2时,f(x)在[ ,2]上单调递增,则f( )=4﹣2+2aln =0,解得a= <2,舍去.

(iii) ,即 时,f(x)在[ )上单调递减,在 上单调递增.

则f( )=2a﹣2+2aln =0,化为:2a﹣2=2alna,

令g(x)=2x﹣2﹣2xlnx(x>0),g(1)=0,

g′(x)=2﹣2lnx﹣2=﹣2lnx,可得x>1时,函数g(x)单调递减,1>x>0时,函数g(x)单调递增.

∴x=1时,函数g(x)取得极大值即最大值.

∴g(x)≤g(1)=0,因此2a﹣2=2alna有唯一解a=1.满足条件.

综上可得:a=1.


【解析】(1)f′(x)=﹣ + = (x>0).分类讨论:a≤0时,a>0时,即可得出单调性.(2)由(1)可得:①a≤0时,函数f(x)在[ ,2]上单调递减,可得f(2)=0,解得a.②a>0时,分类讨论:(i) ≥2,即0<a≤ 时;(ii)0< ,即a≥2时;(iii) ,即 时,利用其单调性即可得出极值与最值.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.

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