【题目】设函数f(x)= ﹣2+2alnx.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)在区间[ ,2]上的最小值为0,求实数a的值.
【答案】
(1)解:f′(x)=﹣ + = (x>0).
a≤0时,f′(x)<0,此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
a>0时,f′(x)= ,则x∈ 时,函数f(x)单调递减;
x∈ 时,函数f(x)单调递增
(2)解:由(1)可得:
①a≤0时,函数f(x)在[ ,2]上单调递减,则f(2)=1﹣2+2aln2=0,解得a= ,舍去.
②a>0时,
(i) ≥2,即0<a≤ 时,f(x)在[ ,2]上单调递减,则f(2)=1﹣2+2aln2=0,解得a= ,舍去.
(ii)0< ,即a≥2时,f(x)在[ ,2]上单调递增,则f( )=4﹣2+2aln =0,解得a= <2,舍去.
(iii) ,即 时,f(x)在[ , )上单调递减,在 上单调递增.
则f( )=2a﹣2+2aln =0,化为:2a﹣2=2alna,
令g(x)=2x﹣2﹣2xlnx(x>0),g(1)=0,
g′(x)=2﹣2lnx﹣2=﹣2lnx,可得x>1时,函数g(x)单调递减,1>x>0时,函数g(x)单调递增.
∴x=1时,函数g(x)取得极大值即最大值.
∴g(x)≤g(1)=0,因此2a﹣2=2alna有唯一解a=1.满足条件.
综上可得:a=1.
【解析】(1)f′(x)=﹣ + = (x>0).分类讨论:a≤0时,a>0时,即可得出单调性.(2)由(1)可得:①a≤0时,函数f(x)在[ ,2]上单调递减,可得f(2)=0,解得a.②a>0时,分类讨论:(i) ≥2,即0<a≤ 时;(ii)0< ,即a≥2时;(iii) ,即 时,利用其单调性即可得出极值与最值.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形ABOC的两边在坐标轴上,OB=1,点A在函数y=﹣ (x<0)的图象上,将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置,此时点A1在函数y= (x>0)的图象上,C1O1与此图象交于点P,则点P的纵坐标是( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】从﹣3,﹣1, ,1,3这五个数中,随机抽取一个数,记为a,若数a使关于x的不等式组 无解,且使关于x的分式方程 ﹣ =﹣1有整数解,那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是( )
A.﹣3
B.﹣2
C.﹣
D.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=CC1=2,M是AB的中点.
(1)求证:平面A1CM⊥平面ABB1A1;
(2)求点M到平面A1CB1的距离.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,F1 , F2分别是双曲线 的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线分别交于点A,B,且A(1, ),若△ABF2为等边三角形,则△BF1F2的面积为( )
A.1
B.
C.
D.2
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面是正三角形,三棱柱的高为 ,若P是△A1B1C1中心,且三棱柱的体积为 ,则PA与平面ABC所成的角大小是( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于M,交AC于N.
(1)若∠ABC=70°,则∠MNA的度数是__.
(2)连接NB,若AB=8cm,△NBC的周长是14cm.
①求BC的长;
②在直线MN上是否存在P,使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小?若存在,标出点P的位置并求△PBC的周长最小值;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为 ,直线l的参数方程为 (t为参数),直线l与曲线C1交于A,B两点. (Ⅰ)求|AB|的长度;
(Ⅱ)若曲线C2的参数方程为 (α为参数),P为曲线C2上的任意一点,求△PAB的面积的最小值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD, .
(1)求证:BC⊥平面ACFE;
(2)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com