Question

【题目】设二次函数y=（x-x1）（x-x2) (x1，x2 为实数）

（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0;乙求得当x=时，y=-，若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由。

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求出该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）

（3）已知二次函数的图象经过（0，m），和（1，n）两点（m，n是实数），0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜.

Answer 1

【答案】（1）乙求得的结果不正确，理由见解析；（2）－ ；（3）见解析

【解析】

（1）将（0，0），（1，0）代入y=（x-x1）（x-x2)求出函数解析式即可求解；

（2）对称轴为x= ，当x=时，y=-函数的最小值；

（3）将已知两点代入求出m=x1x2，n=1- x1-x2+x1x2，再表示出mn= ，由已知0<x1<x2<1，可求出0≤-，即可求解．

（1）当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；

∴二次函数经过点（0，0），（1，0），

∴x1=0，x2=1，

∴y═x（x-1）=x-x，

当x=时，y=-，

∴乙说点的不对；

（2）对称轴为x=，当x=时，y=-是函数的最小值；

（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，

∴m=x1x2，n=1- x1-x2+x1x2，，

∴mn=

∵0<x1<x2<1，

∴0≤-， ，

∴ .