Question

已知关于x的一元二次方程x²-4x+2（k-1）=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果方程的两个根均为整数，求正整数k的值；
（3）在（2）的条件下，若直线y=-kx+b与x轴、y轴分别交于点A、D，与双曲线（n＞0）交于点B、C（B在C的左边），且AB•AC=4，求n的值．

Answer 1

解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-4x+2（k-1）=0有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（-4）²-4×1×2（k-1）=-8k+24＞0，
解得：k＜3，
∴k的取值范围为k＜3；

（2）∵k＜3且k为正整数，
∴k=1或2．
当k=1时，y=x²-4x，与x轴交于点（0，0）、（4，0），符合题意；
当k=2时，y=x²-4x+2，与x轴的交点不是整数点，故舍去．
综上所述，k=1．

（3）当b＞0，如图，过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，
由（2）得：k=1，
∴直线的解析式为：y=-x+b，
∵直线与x轴、y轴分别交于点A、D，
∴点A（b，0），点D（0，b），
∴∠OAD=∠ODA=45°，
∴△ACF与△ABE是等腰直角三角形，
∴AC=AF，AB=AE，
∵AB•AC=4，
∴AF•AE=4，
即AF•AE=2，
∵直线y=-x+b与x轴、y轴分别交于点A、D，与双曲线（n＞0）交于点B、C，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∴x₁与x₂是-x+b=的解，
即x²-bx+n=0，
∴x₁+x₂=b，x₁•x₂=n，
∵AE=b-x₁，AF=b-x₂，
∴（b-x₁）（b-x₂）=2，
即b²-b（x₁+x₂）+x₁•x₂=n=2；
当b＜0时，同理可得：n=2．
综上可得：n=2．
分析：（1）由关于x的一元二次方程x²-4x+2（k-1）=0有两个不相等的实数根，可得△=b²-4ac=（-4）²-4×1×2（k-1）=-8k+24＞0，继而求得k的取值范围；
（2）由方程的两个根均为整数，求正整数k的值，根据（1），分别讨论k=2与k=1的情况，即可求得答案；
（3）首先过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，易得△ACF与△ABE是等腰直角三角形，则可得AC=AF，AB=AE，求得AF•AE=2，然后由线y=-x+b与x轴、y轴分别交于点A、D，与双曲线（n＞0）交于点B、C，可得设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），即可得x₁与x₂是-x+b=的解，继而求得x₁+x₂=b，x₁•x₂=n，又由AE=b-x₁，AF=b-x₂，则可得（b-x₁）（b-x₂）=2，继而求得答案．
点评：此题考查了反比例函数的性质、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的判别式以及根与系数的关系．此题难度较大，综合性很强，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．