Question

【题目】已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．

（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系　 　；

（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，∠BAD与∠C有何数量关系，并说明理由；

（3）如图3，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=5∠DBE，求∠EBC的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）∠C+∠BAD=90°，理由见解析；（3）99°．

【解析】

（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；

（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C，可得∠C+∠BAD=90°；

（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+5α+（5α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=9°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=9°+90°=99°.

（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，

∵AM∥CN，

∴∠C=∠AOB，

∵AB⊥BC，

∴∠A+∠AOB=90°，

∴∠A+∠C=90°；

（2）如图2，过点B作BG∥DM，

∵BD⊥AM，

∴∠ABD+∠BAD=90°，DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，

又∵AB⊥BC，

∴∠CBG+∠ABG=90°，

∴∠ABD=∠CBG，

∵AM∥CN，BG∥AM，

∴CN∥BG，

∴∠C=∠CBG，

∴∠ABD=∠C，

∴∠C+∠BAD=90°；

（3）如图3，过点B作BG∥DM，

∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，

∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，

由（2）可得∠ABD=∠CBG，

∴∠ABF=∠GBF，

设∠DBE=α，∠ABF=β，则

∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=5∠DBE=5α，

∴∠AFC=5α+β，

∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，

∴∠FCB=∠AFC=5α+β，

△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得

（2α+β）+5α+（5α+β）=180°，①

由AB⊥BC，可得

β+β+2α=90°，②

由①②联立方程组，解得α=9°，

∴∠ABE=9°，

∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=9°+90°=99°．